Nombres relatifs : multiplication et division — cours de 4e
Rappels sur les nombres relatifs, Multiplication de deux nombres relatifs, Division de deux nombres relatifs, Enchaînements d'opérations et priorités Lecture ≈ 4 min.
1. Rappels sur les nombres relatifs
DéfinitionUn nombre relatif est un nombre positif ou négatif. Il est composé d'un signe (+ ou −) et d'une distance à zéro (sa partie sans le signe).
Exemples : −7 est négatif, sa distance à zéro est 7. +3,5 (ou simplement 3,5) est positif, sa distance à zéro est 3,5.
Exemples : −7 est négatif, sa distance à zéro est 7. +3,5 (ou simplement 3,5) est positif, sa distance à zéro est 3,5.
Propriété (rappels de 5e)
- Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires : l'opposé de 5 est −5, l'opposé de −2,4 est 2,4.
- Pour additionner deux nombres de même signe, on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun : (−3) + (−8) = −11.
- Pour additionner deux nombres de signes contraires, on soustrait les distances à zéro et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro : (−3) + 8 = 5 ; 3 + (−8) = −5.
- Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : 4 − (−6) = 4 + 6 = 10.
2. Multiplication de deux nombres relatifs
Propriété (règle des signes)Pour multiplier deux nombres relatifs :
- on multiplie les distances à zéro ;
- si les deux nombres sont de même signe, le produit est positif ;
- si les deux nombres sont de signes contraires, le produit est négatif.
| Signes des facteurs | Signe du produit | Exemple |
|---|---|---|
| (+) × (+) | + | 3 × 4 = 12 |
| (−) × (−) | + | (−3) × (−4) = 12 |
| (+) × (−) | − | 3 × (−4) = −12 |
| (−) × (+) | − | (−3) × 4 = −12 |
ExempleCalculer A = (−7) × 6 et B = (−2,5) × (−4).
A : les signes sont contraires, donc le produit est négatif. 7 × 6 = 42, donc A = −42.
B : les signes sont identiques, donc le produit est positif. 2,5 × 4 = 10, donc B = 10.
A : les signes sont contraires, donc le produit est négatif. 7 × 6 = 42, donc A = −42.
B : les signes sont identiques, donc le produit est positif. 2,5 × 4 = 10, donc B = 10.
Propriété (produit de plusieurs facteurs)Le signe d'un produit de plusieurs nombres relatifs (non nuls) dépend du nombre de facteurs négatifs :
- s'il y a un nombre pair de facteurs négatifs, le produit est positif ;
- s'il y a un nombre impair de facteurs négatifs, le produit est négatif.
ExempleC = (−2) × 5 × (−3) × (−1) × 4.
Il y a 3 facteurs négatifs (nombre impair), donc C est négatif.
Distances à zéro : 2 × 5 × 3 × 1 × 4 = 120. Donc C = −120.
Il y a 3 facteurs négatifs (nombre impair), donc C est négatif.
Distances à zéro : 2 × 5 × 3 × 1 × 4 = 120. Donc C = −120.
MéthodePour calculer un produit de plusieurs relatifs :
- compter les facteurs négatifs pour déterminer le signe ;
- multiplier toutes les distances à zéro (on peut regrouper astucieusement, par exemple 2 × 5 = 10) ;
- écrire le résultat avec son signe.
3. Division de deux nombres relatifs
PropriétéLa règle des signes de la division est la même que celle de la multiplication : on divise les distances à zéro, et le quotient est positif si les deux nombres sont de même signe, négatif sinon.
Exemples : (−15) ÷ 3 = −5 ; (−15) ÷ (−3) = 5 ; 15 ÷ (−3) = −5.
Un quotient peut s'écrire sous forme fractionnaire : −153 = 15−3 = −153 = −5. On ne divise jamais par zéro.
Exemples : (−15) ÷ 3 = −5 ; (−15) ÷ (−3) = 5 ; 15 ÷ (−3) = −5.
Un quotient peut s'écrire sous forme fractionnaire : −153 = 15−3 = −153 = −5. On ne divise jamais par zéro.
ExempleCalculer D = (−36) ÷ (−9) et E = 7 ÷ (−2).
D : même signe, quotient positif. 36 ÷ 9 = 4. D = 4.
E : signes contraires, quotient négatif. 7 ÷ 2 = 3,5. E = −3,5.
D : même signe, quotient positif. 36 ÷ 9 = 4. D = 4.
E : signes contraires, quotient négatif. 7 ÷ 2 = 3,5. E = −3,5.
4. Enchaînements d'opérations et priorités
Propriété (priorités opératoires)Dans un calcul sans parenthèses :
- on effectue d'abord les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
- puis les additions et soustractions, de gauche à droite.
ExempleCalculer F = −3 + 5 × (−2) − (−8) ÷ 4.
F = −3 + (−10) − (−2) (on fait d'abord 5 × (−2) = −10 et (−8) ÷ 4 = −2)
F = −3 − 10 + 2
F = −13 + 2
F = −11.
F = −3 + (−10) − (−2) (on fait d'abord 5 × (−2) = −10 et (−8) ÷ 4 = −2)
F = −3 − 10 + 2
F = −13 + 2
F = −11.
ExempleCalculer G = (2 − 7) × (−4 + 1) − 6 × (−2).
G = (−5) × (−3) − (−12)
G = 15 + 12
G = 27.
G = (−5) × (−3) − (−12)
G = 15 + 12
G = 27.
MéthodePour ne pas se tromper de signe dans un enchaînement :
- écrire une étape par ligne, en remplaçant un seul « bloc » à la fois ;
- transformer les soustractions d'un négatif en additions : − (−a) = + a ;
- ne jamais écrire deux signes opératoires côte à côte sans parenthèses : on écrit 3 × (−2), pas 3 × −2.