4e · Fiche de révision

Nombres relatifs : multiplication et division — fiche résumé

L'essentiel du chapitre en une page : 6 points à retenir et 2 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.

À retenir

1. Rappels sur les nombres relatifs

Définition

Un nombre relatif est un nombre positif ou négatif. Il est composé d'un signe (+ ou −) et d'une distance à zéro (sa partie sans le signe).
Exemples : −7 est négatif, sa distance à zéro est 7. +3,5 (ou simplement 3,5) est positif, sa distance à zéro est 3,5.

Propriété (rappels de 5e)

Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires : l'opposé de 5 est −5, l'opposé de −2,4 est 2,4.
Pour additionner deux nombres de même signe, on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun : (−3) + (−8) = −11.
Pour additionner deux nombres de signes contraires, on soustrait les distances à zéro et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro : (−3) + 8 = 5 ; 3 + (−8) = −5.
Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : 4 − (−6) = 4 + 6 = 10.

2. Multiplication de deux nombres relatifs

Propriété (règle des signes)

Pour multiplier deux nombres relatifs :

on multiplie les distances à zéro ;
si les deux nombres sont de même signe, le produit est positif ;
si les deux nombres sont de signes contraires, le produit est négatif.

Signes des facteurs	Signe du produit	Exemple
(+) × (+)	+	3 × 4 = 12
(−) × (−)	+	(−3) × (−4) = 12
(+) × (−)	−	3 × (−4) = −12
(−) × (+)	−	(−3) × 4 = −12

Propriété (produit de plusieurs facteurs)

Le signe d'un produit de plusieurs nombres relatifs (non nuls) dépend du nombre de facteurs négatifs :

s'il y a un nombre pair de facteurs négatifs, le produit est positif ;
s'il y a un nombre impair de facteurs négatifs, le produit est négatif.

Par ailleurs, un produit est nul dès qu'un de ses facteurs est nul.

3. Division de deux nombres relatifs

Propriété

La règle des signes de la division est la même que celle de la multiplication : on divise les distances à zéro, et le quotient est positif si les deux nombres sont de même signe, négatif sinon.
Exemples : (−15) ÷ 3 = −5 ; (−15) ÷ (−3) = 5 ; 15 ÷ (−3) = −5.
Un quotient peut s'écrire sous forme fractionnaire : −153 = 15−3 = −153 = −5. On ne divise jamais par zéro.

4. Enchaînements d'opérations et priorités

Propriété (priorités opératoires)

Dans un calcul sans parenthèses :

on effectue d'abord les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
puis les additions et soustractions, de gauche à droite.

S'il y a des parenthèses, on commence par les calculs entre parenthèses (les plus intérieures d'abord). Une barre de fraction joue le rôle de parenthèses pour le numérateur et le dénominateur.

Les méthodes

Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.

Méthode 1

Pour calculer un produit de plusieurs relatifs :

compter les facteurs négatifs pour déterminer le signe ;
multiplier toutes les distances à zéro (on peut regrouper astucieusement, par exemple 2 × 5 = 10) ;
écrire le résultat avec son signe.

Méthode 2

Pour ne pas se tromper de signe dans un enchaînement :

écrire une étape par ligne, en remplaçant un seul « bloc » à la fois ;
transformer les soustractions d'un négatif en additions : − (−a) = + a ;
ne jamais écrire deux signes opératoires côte à côte sans parenthèses : on écrit 3 × (−2), pas 3 × −2.

Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés