Exercices corrigés — Fractions : multiplication, division, puissances (4e)

a) On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en décomposant pour simplifier avant de calculer : 67 × 149 = 6 × 147 × 9 = 2 × 3 × 2 × 77 × 3 × 3.
On supprime les facteurs communs 3 et 7 : il reste 2 × 23 = 43.
b) Les deux facteurs sont négatifs : le produit est positif. −512 × (−815) = 5 × 812 × 15 = 5 × 4 × 24 × 3 × 3 × 5.
On supprime 5 et 4 : il reste 23 × 3 = 29. Vérification avec les valeurs décimales : 512 × 815 ≈ 0,417 × 0,533 ≈ 0,222 et 29 ≈ 0,222.

a) L'inverse d'un nombre a non nul est le nombre 1a, celui qui multiplié par a donne 1. L'inverse de 9 est 19 (9 × 19 = 1). L'inverse de 311 est 113 : on échange numérateur et dénominateur, et 311 × 113 = 3333 = 1.
L'inverse de −0,25 : on écrit −0,25 = −14, son inverse est −4, car (−14) × (−4) = 1. Un nombre et son inverse ont toujours le même signe.
L'inverse de −83 est −38. L'inverse de 1 est 1 lui-même (1 × 1 = 1).
b) L'inverse de 0 serait un nombre qui, multiplié par 0, donnerait 1. Or tout produit par 0 est nul : un tel nombre n'existe pas. C'est pour cela qu'on ne divise jamais par 0.

a) Un entier se multiplie par une fraction en multipliant le numérateur : 4 × 38 = 4 × 38 = 128. On simplifie par 4 : 128 = 32 (ou 1,5). Plus rapide : 48 = 12, donc 4 × 38 = 32.
b) Prendre les 23 de 45, c'est multiplier 45 par 23 : 23 × 45 = 2 × 453 = 903 = 30. Ou bien 45 ÷ 3 = 15, puis 15 × 2 = 30.
c) Deux facteurs négatifs (nombre pair) : le produit est positif. 3 × 10 × 35 × 9 × 4 = 3 × 2 × 5 × 35 × 3 × 3 × 2 × 2.
On supprime 5, 2 et deux facteurs 3 : il reste 12. Donc −35 × 109 × (−34) = 12.

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.
a) 75 ÷ 1415 = 75 × 1514 = 7 × 155 × 14 = 7 × 3 × 55 × 2 × 7 = 32.
b) (−29) / (43) = −29 × 34 = −2 × 39 × 4 = −2 × 33 × 3 × 2 × 2 = −16. Le signe − reste : un seul facteur négatif.
c) 6 ÷ 34 = 6 × 43 = 243 = 8. Sens : il y a 8 fois trois quarts dans 6 unités. Vérification : 8 × 34 = 244 = 6.

La multiplication est prioritaire sur la soustraction : on calcule d'abord 12 × 53 = 1 × 52 × 3 = 56.
G = 34 − 56. Pour soustraire, on met au même dénominateur ; le plus petit multiple commun de 4 et 6 est 12 : 34 = 912 et 56 = 1012.
G = 912 − 1012 = −112.
Le résultat est négatif, ce qui est cohérent : 56 ≈ 0,83 est plus grand que 34 = 0,75, et 0,75 − 0,83 ≈ −0,08 ≈ −112.

Pour élever une fraction à une puissance, on élève numérateur et dénominateur à cette puissance : (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.
(−23)³ = (−2)³/3³ = −827 : un exposant impair conserve le signe −. (54)² = 5²4² = 2516.
Un exposant négatif indique un inverse : (12)⁻³ = (21)³ = 2³ = 8. Vérification : (12)³ = 18, et l'inverse de 18 est 8.
(−32)⁻² = (−23)² = (−2)²/3² = 49 : un exposant pair donne un résultat positif.

Priorités : parenthèses, puis puissance, puis division.
Parenthèse : 25 + 110 = 410 + 110 = 510 = 12. Puissance : (34)² = 3²4² = 916.
H = 12 ÷ 916 = 12 × 169 = 1618.
On simplifie par 2 : H = 89. Vérification : 89 × 916 = 72144 = 12, on retrouve bien le dividende.

a) Le temps est proportionnel à la surface arrosée. Arroser 35 du potager prend 34 h ; arroser tout le potager (1 = 55) prend 34 ÷ 35.
34 ÷ 35 = 34 × 53 = 3 × 54 × 3 = 54 h. Comme 54 h = 1 h + 14 h = 1 h 15 min, il lui faut 1 h 15 min en tout. Autre raisonnement : 15 du potager prend 34 ÷ 3 = 14 h = 15 min, donc 55 prennent 5 × 15 = 75 min.
b) On cherche combien de fois 23 L est contenu dans 5 L : 5 ÷ 23 = 5 × 32 = 152 = 7,5.
On remplit 7 bouteilles entières, et il reste de quoi remplir la moitié d'une huitième, soit 13 L. Vérification : 7 × 23 = 143 L et 143 + 13 = 153 = 5 L.