Fractions : multiplication, division, puissances — cours de 4e
Rappels, Multiplication de fractions, Inverse d'un nombre, Division de fractions Lecture ≈ 4 min.
1. Rappels
DéfinitionLe quotient ab (avec b ≠ 0) est le nombre qui, multiplié par b, donne a. Une fraction est un quotient de deux nombres entiers. Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
Propriété (rappels)
- On ne change pas un quotient en multipliant ou divisant numérateur et dénominateur par un même nombre non nul : ab = a × kb × k.
- Pour additionner ou soustraire deux fractions, on les met au même dénominateur : 23 + 16 = 46 + 16 = 56.
- Règle des signes : −ab = a−b = −ab et −a−b = ab.
2. Multiplication de fractions
PropriétéPour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
ab × cd = a × cb × d (avec b ≠ 0 et d ≠ 0).
Cas particulier : a × cd = a × cd.
ab × cd = a × cb × d (avec b ≠ 0 et d ≠ 0).
Cas particulier : a × cd = a × cd.
MéthodeAvant de multiplier, on simplifie si possible en décomposant les numérateurs et dénominateurs en produits de facteurs, puis en supprimant les facteurs communs. Cela évite de manipuler de grands nombres.
ExempleCalculer A = 158 × 49.
A = 15 × 48 × 9 = 3 × 5 × 44 × 2 × 3 × 3 = 52 × 3 = 56.
A = 15 × 48 × 9 = 3 × 5 × 44 × 2 × 3 × 3 = 52 × 3 = 56.
ExempleCalculer B = −710 × 514.
Signes contraires : le produit est négatif.
B = −7 × 510 × 14 = −7 × 52 × 5 × 2 × 7 = −14.
Signes contraires : le produit est négatif.
B = −7 × 510 × 14 = −7 × 52 × 5 × 2 × 7 = −14.
3. Inverse d'un nombre
DéfinitionDeux nombres sont inverses l'un de l'autre lorsque leur produit est égal à 1.
L'inverse d'un nombre a non nul est 1a. L'inverse de la fraction ab (a ≠ 0, b ≠ 0) est ba.
Exemples : l'inverse de 4 est 14 (car 4 × 14 = 1) ; l'inverse de 25 est 52 ; l'inverse de −37 est −73 ; l'inverse de 0,5 est 2.
Le nombre 0 n'a pas d'inverse. Un nombre et son inverse ont le même signe.
L'inverse d'un nombre a non nul est 1a. L'inverse de la fraction ab (a ≠ 0, b ≠ 0) est ba.
Exemples : l'inverse de 4 est 14 (car 4 × 14 = 1) ; l'inverse de 25 est 52 ; l'inverse de −37 est −73 ; l'inverse de 0,5 est 2.
Le nombre 0 n'a pas d'inverse. Un nombre et son inverse ont le même signe.
4. Division de fractions
PropriétéDiviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse :
ab ÷ cd = ab × dc = a × db × c (avec b, c, d non nuls).
Écriture avec une « fraction de fractions » : (ab)/(cd) = ab × dc.
ab ÷ cd = ab × dc = a × db × c (avec b, c, d non nuls).
Écriture avec une « fraction de fractions » : (ab)/(cd) = ab × dc.
ExempleCalculer C = 34 ÷ 98.
C = 34 × 89 = 3 × 84 × 9 = 3 × 2 × 44 × 3 × 3 = 23.
C = 34 × 89 = 3 × 84 × 9 = 3 × 2 × 44 × 3 × 3 = 23.
ExempleCalculer D = (−56) / (103).
D = −56 × 310 = −5 × 36 × 10 = −5 × 32 × 3 × 2 × 5 = −14.
D = −56 × 310 = −5 × 36 × 10 = −5 × 32 × 3 × 2 × 5 = −14.
5. Puissances entières d'une fraction
PropriétéPour tout entier n ≥ 1 et pour b ≠ 0 : (ab)n = anbn.
Exemple : (23)3 = 2333 = 827. (−12)2 = 14 et (−12)3 = −18.
Avec un exposant négatif (voir chapitre 3), si de plus a ≠ 0 : (ab)−n = (ba)n. Exemple : (23)−2 = (32)2 = 94.
Exemple : (23)3 = 2333 = 827. (−12)2 = 14 et (−12)3 = −18.
Avec un exposant négatif (voir chapitre 3), si de plus a ≠ 0 : (ab)−n = (ba)n. Exemple : (23)−2 = (32)2 = 94.
6. Enchaînements d'opérations
MéthodeLes priorités opératoires sont les mêmes qu'avec les nombres relatifs : parenthèses, puis puissances, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions. Pour un calcul avec fractions :
- calculer les parenthèses (mise au même dénominateur pour les sommes) ;
- transformer les divisions en multiplications par l'inverse ;
- simplifier avant de multiplier ;
- donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
ExempleCalculer E = 23 + 56 × 45.
La multiplication est prioritaire : 56 × 45 = 5 × 46 × 5 = 46 = 23.
E = 23 + 23 = 43.
La multiplication est prioritaire : 56 × 45 = 5 × 46 × 5 = 46 = 23.
E = 23 + 23 = 43.
ExempleCalculer F = (12 − 34) ÷ (1 + 13).
Parenthèses : 12 − 34 = 24 − 34 = −14 ; 1 + 13 = 33 + 13 = 43.
F = (−14) ÷ (43) = −14 × 34 = −316.
Parenthèses : 12 − 34 = 24 − 34 = −14 ; 1 + 13 = 33 + 13 = 43.
F = (−14) ÷ (43) = −14 × 34 = −316.