Exercices corrigés — Statistiques (3e)

Effectif total : N = 12 + 8 + 4 + 1 = 25 élèves.
La fréquence d'une valeur est son effectif divisé par l'effectif total. En pourcentage, on multiplie par 100.
À pied : 1225 = 0,48 = 48 %. En bus : 825 = 0,32 = 32 %. En vélo : 425 = 0,16 = 16 %. En voiture : 125 = 0,04 = 4 %.
Vérification : 48 + 32 + 16 + 4 = 100 %. Les fréquences d'une série se somment toujours à 100 %.

On range d'abord la série dans l'ordre croissant : 7 ; 7 ; 10 ; 11 ; 12 ; 14 ; 16 ; 19. Elle compte N = 8 valeurs.
Moyenne : somme des valeurs divisée par N. Somme = 7 + 7 + 10 + 11 + 12 + 14 + 16 + 19 = 96, donc moyenne = 968 = 12.
Médiane : N = 8 est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales, celles des positions 4 et 5, c'est-à-dire 11 et 12. Médiane = 11 + 122 = 11,5. Au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à 11,5, et au moins la moitié supérieures ou égales.
Étendue : maximum moins minimum = 19 − 7 = 12.

La série est déjà rangée et compte N = 11 valeurs.
Premier quartile : N4 = 114 = 2,75, qui n'est pas entier ; on prend la position immédiatement supérieure, 3. La 3^e valeur est 6, donc Q₁ = 6 : au moins un quart des valeurs sont inférieures ou égales à 6.
Troisième quartile : 3N/4 = 334 = 8,25 → position 9. La 9^e valeur est 15, donc Q₃ = 15 : au moins trois quarts des valeurs sont inférieures ou égales à 15.
Écart interquartile : Q₃ − Q₁ = 15 − 6 = 9. La moitié centrale de la série s'étale sur 9 unités.

Effectif total : 2 + 5 + 7 + 4 + 2 = 20 plants.
Moyenne pondérée : on multiplie chaque taille par son effectif, on additionne, on divise par 20. 30 × 2 + 35 × 5 + 40 × 7 + 45 × 4 + 50 × 220 = 60 + 175 + 280 + 180 + 10020 = 79520 = 39,75. La taille moyenne est 39,75 cm.
Médiane : N = 20 est pair, on cherche les valeurs des positions 10 et 11. Effectifs cumulés : 2 plants mesurent 30 cm (positions 1-2), 7 mesurent au plus 35 cm (positions 3-7), 14 mesurent au plus 40 cm (positions 8-14). Les positions 10 et 11 correspondent donc toutes deux à 40 cm.
Médiane = 40 + 402 = 40 cm.

L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
Classe A : 15 − 9 = 6. Classe B : 20 − 3 = 17.
Les deux classes ont la même moyenne, mais les notes de la classe B sont beaucoup plus dispersées : il y a des notes très basses et des notes très hautes, alors que celles de la classe A sont regroupées autour de 12.
La moyenne seule ne suffit pas à décrire une série : un indicateur de dispersion comme l'étendue apporte une information que la moyenne ne donne pas.

La moyenne est la somme des notes divisée par leur nombre ; donc la somme des notes est égale à la moyenne multipliée par le nombre de notes.
Somme des 4 premières notes : 13 × 4 = 52.
Pour avoir 14 de moyenne sur 5 contrôles, la somme des 5 notes doit valoir 14 × 5 = 70.
La note du 5^e contrôle doit donc être 70 − 52 = 18. Vérification : 52 + 185 = 705 = 14.

Moyenne : la somme des salaires est 1 500 + 1 600 + 1 600 + 1 700 + 1 800 + 1 900 + 2 000 + 2 200 + 8 500 = 22 800 €, donc la moyenne est 22 8009 ≈ 2 533 €.
Médiane : la série est déjà rangée et N = 9 est impair ; la médiane est la valeur du milieu, à la position 9 + 12 = 5. La 5^e valeur est 1 800 €, donc la médiane est 1 800 €.
La médiane est plus représentative : 8 salariés sur 9 gagnent entre 1 500 et 2 200 €, et la moyenne, tirée vers le haut par le seul salaire de 8 500 €, est supérieure à ce que gagnent presque tous les salariés. C'est un exemple où la moyenne est sensible à une valeur extrême et la médiane ne l'est pas.

L'effectif total est N = 3 + 5 + x + 2 = 10 + x.
La somme des notes est 8 × 3 + 10 × 5 + 12 × x + 15 × 2 = 24 + 50 + 12x + 30 = 104 + 12x.
La moyenne vaut 11, donc la somme des notes est égale à 11 fois l'effectif total : 104 + 12x = 11(10 + x) = 110 + 11x.
On résout : 12x − 11x = 110 − 104, soit x = 6.
Vérification : N = 16 et somme = 104 + 72 = 176 ; 17616 = 11. Il y a 6 élèves ayant 12.