Statistiques — cours de 3e
Vocabulaire, Moyenne, Médiane, Étendue Lecture ≈ 6 min.
1. Vocabulaire
Définition
– La population est l'ensemble étudié ; chaque élément est un individu.
– Le caractère est la propriété étudiée (taille, note, couleur…). Il est quantitatif s'il est mesuré par un nombre, qualitatif sinon.
– L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus ayant cette valeur. L'effectif total N est le nombre total d'individus.
– La fréquence d'une valeur est le quotient effectif / effectif total (en nombre décimal, fraction ou pourcentage).
– La population est l'ensemble étudié ; chaque élément est un individu.
– Le caractère est la propriété étudiée (taille, note, couleur…). Il est quantitatif s'il est mesuré par un nombre, qualitatif sinon.
– L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus ayant cette valeur. L'effectif total N est le nombre total d'individus.
– La fréquence d'une valeur est le quotient effectif / effectif total (en nombre décimal, fraction ou pourcentage).
2. Moyenne
Définition
La moyenne d'une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs par l'effectif total.
Lorsque les valeurs sont regroupées dans un tableau d'effectifs, on calcule la moyenne pondérée :
moyenne = x1 n1 + x2 n2 + … + xk nkN
où xi sont les valeurs et ni leurs effectifs.
La moyenne d'une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs par l'effectif total.
Lorsque les valeurs sont regroupées dans un tableau d'effectifs, on calcule la moyenne pondérée :
moyenne = x1 n1 + x2 n2 + … + xk nkN
où xi sont les valeurs et ni leurs effectifs.
Exemple résolu
Notes d'un élève : 12 ; 8 ; 15 ; 11 ; 14. Moyenne = 12 + 8 + 15 + 11 + 145 = 605 = 12.
Notes d'une classe (tableau d'effectifs) :
Effectif total : 3 + 7 + 8 + 5 + 2 = 25.
Moyenne = 6 × 3 + 9 × 7 + 12 × 8 + 14 × 5 + 18 × 225 = 18 + 63 + 96 + 70 + 3625 = 28325 = 11,32.
Notes d'un élève : 12 ; 8 ; 15 ; 11 ; 14. Moyenne = 12 + 8 + 15 + 11 + 145 = 605 = 12.
Notes d'une classe (tableau d'effectifs) :
| Note | 6 | 9 | 12 | 14 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 7 | 8 | 5 | 2 |
Moyenne = 6 × 3 + 9 × 7 + 12 × 8 + 14 × 5 + 18 × 225 = 18 + 63 + 96 + 70 + 3625 = 28325 = 11,32.
Méthode – Moyenne avec des classes
Quand les valeurs sont regroupées en classes (intervalles), on remplace chaque classe par son centre pour calculer une valeur approchée de la moyenne.
Quand les valeurs sont regroupées en classes (intervalles), on remplace chaque classe par son centre pour calculer une valeur approchée de la moyenne.
3. Médiane
Définition
La médiane d'une série statistique est une valeur qui partage la série rangée dans l'ordre croissant en deux groupes de même effectif :
au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins la moitié sont supérieures ou égales.
La médiane d'une série statistique est une valeur qui partage la série rangée dans l'ordre croissant en deux groupes de même effectif :
au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins la moitié sont supérieures ou égales.
Méthode – Déterminer la médiane
1. Ranger les N valeurs dans l'ordre croissant (en tenant compte des effectifs).
2. Si N est impair, la médiane est la valeur du milieu, à la position N + 12.
3. Si N est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales (positions N2 et N2 + 1).
1. Ranger les N valeurs dans l'ordre croissant (en tenant compte des effectifs).
2. Si N est impair, la médiane est la valeur du milieu, à la position N + 12.
3. Si N est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales (positions N2 et N2 + 1).
Exemple résolu
Série : 15 ; 8 ; 12 ; 20 ; 9 ; 12 ; 17. Rangée : 8 ; 9 ; 12 ; 12 ; 15 ; 17 ; 20. N = 7 (impair), position 7 + 12 = 4. Médiane = 12.
Série : 5 ; 11 ; 3 ; 14 ; 8 ; 10. Rangée : 3 ; 5 ; 8 ; 10 ; 11 ; 14. N = 6 (pair), valeurs centrales 8 et 10. Médiane = 8 + 102 = 9.
Série : 15 ; 8 ; 12 ; 20 ; 9 ; 12 ; 17. Rangée : 8 ; 9 ; 12 ; 12 ; 15 ; 17 ; 20. N = 7 (impair), position 7 + 12 = 4. Médiane = 12.
Série : 5 ; 11 ; 3 ; 14 ; 8 ; 10. Rangée : 3 ; 5 ; 8 ; 10 ; 11 ; 14. N = 6 (pair), valeurs centrales 8 et 10. Médiane = 8 + 102 = 9.
Exemple résolu – À partir d'un tableau d'effectifs
Reprenons les notes de la classe : N = 25 (impair), médiane à la position 13. On cumule les effectifs : note 6 → positions 1 à 3 ; note 9 → positions 4 à 10 ; note 12 → positions 11 à 18. La 13e valeur est 12. Médiane = 12.
Interprétation : au moins la moitié des élèves ont une note inférieure ou égale à 12, et au moins la moitié une note supérieure ou égale à 12.
Reprenons les notes de la classe : N = 25 (impair), médiane à la position 13. On cumule les effectifs : note 6 → positions 1 à 3 ; note 9 → positions 4 à 10 ; note 12 → positions 11 à 18. La 13e valeur est 12. Médiane = 12.
Interprétation : au moins la moitié des élèves ont une note inférieure ou égale à 12, et au moins la moitié une note supérieure ou égale à 12.
Propriété – Moyenne ou médiane ?
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes (une valeur très grande la fait beaucoup augmenter). La médiane ne l'est pas. Elles peuvent donc être très différentes : par exemple, pour les salaires, la médiane est souvent plus représentative que la moyenne.
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes (une valeur très grande la fait beaucoup augmenter). La médiane ne l'est pas. Elles peuvent donc être très différentes : par exemple, pour les salaires, la médiane est souvent plus représentative que la moyenne.
4. Étendue
Définition
L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : étendue = maximum − minimum. C'est un indicateur de dispersion.
L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : étendue = maximum − minimum. C'est un indicateur de dispersion.
Exemple
Pour la série 8 ; 9 ; 12 ; 12 ; 15 ; 17 ; 20 : étendue = 20 − 8 = 12.
Deux classes peuvent avoir la même moyenne mais des étendues très différentes : les notes de la classe A sont plus « resserrées » que celles de la classe B si son étendue est plus petite.
Pour la série 8 ; 9 ; 12 ; 12 ; 15 ; 17 ; 20 : étendue = 20 − 8 = 12.
Deux classes peuvent avoir la même moyenne mais des étendues très différentes : les notes de la classe A sont plus « resserrées » que celles de la classe B si son étendue est plus petite.
5. Quartiles
Définition
Soit une série rangée dans l'ordre croissant.
– Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins un quart (25 %) des valeurs soient inférieures ou égales à Q1.
– Le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins trois quarts (75 %) des valeurs soient inférieures ou égales à Q3.
L'écart interquartile Q3 − Q1 est un indicateur de dispersion : il mesure l'étendue de la « moitié centrale » de la série.
Soit une série rangée dans l'ordre croissant.
– Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins un quart (25 %) des valeurs soient inférieures ou égales à Q1.
– Le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins trois quarts (75 %) des valeurs soient inférieures ou égales à Q3.
L'écart interquartile Q3 − Q1 est un indicateur de dispersion : il mesure l'étendue de la « moitié centrale » de la série.
Méthode – Déterminer les quartiles
1. Ranger les N valeurs dans l'ordre croissant.
2. Calculer N4 : Q1 est la valeur située à la position N4 si c'est un entier, sinon à la position immédiatement supérieure (arrondi à l'entier supérieur).
3. Calculer 3N/4 : Q3 est la valeur située à la position 3N/4 si c'est un entier, sinon à la position immédiatement supérieure.
1. Ranger les N valeurs dans l'ordre croissant.
2. Calculer N4 : Q1 est la valeur située à la position N4 si c'est un entier, sinon à la position immédiatement supérieure (arrondi à l'entier supérieur).
3. Calculer 3N/4 : Q3 est la valeur située à la position 3N/4 si c'est un entier, sinon à la position immédiatement supérieure.
Exemple résolu
Série rangée (N = 10) : 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 18.
N4 = 2,5 → position 3 : Q1 = 5.
3N/4 = 7,5 → position 8 : Q3 = 13.
Médiane : 8 + 92 = 8,5. Écart interquartile : 13 − 5 = 8.
Interprétation : au moins 25 % des valeurs sont inférieures ou égales à 5 ; au moins 75 % sont inférieures ou égales à 13.
Série rangée (N = 10) : 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 18.
N4 = 2,5 → position 3 : Q1 = 5.
3N/4 = 7,5 → position 8 : Q3 = 13.
Médiane : 8 + 92 = 8,5. Écart interquartile : 13 − 5 = 8.
Interprétation : au moins 25 % des valeurs sont inférieures ou égales à 5 ; au moins 75 % sont inférieures ou égales à 13.
Exemple résolu – Série de 12 valeurs
Temps (en min) mis par 12 élèves pour un devoir, rangés : 20 ; 22 ; 25 ; 25 ; 28 ; 30 ; 31 ; 33 ; 35 ; 38 ; 40 ; 45.
N4 = 3 (entier) → Q1 = 3e valeur = 25.
3N/4 = 9 (entier) → Q3 = 9e valeur = 35.
Médiane = 30 + 312 = 30,5. Moyenne = 37212 = 31. Étendue = 25.
Temps (en min) mis par 12 élèves pour un devoir, rangés : 20 ; 22 ; 25 ; 25 ; 28 ; 30 ; 31 ; 33 ; 35 ; 38 ; 40 ; 45.
N4 = 3 (entier) → Q1 = 3e valeur = 25.
3N/4 = 9 (entier) → Q3 = 9e valeur = 35.
Médiane = 30 + 312 = 30,5. Moyenne = 37212 = 31. Étendue = 25.
6. Exercice complet de type brevet
Exemple résolu
Voici la répartition du nombre de livres lus pendant l'été par les 30 élèves d'une classe :
a) Effectif total : 4 + 8 + 9 + 5 + 3 + 1 = 30. ✓
b) Moyenne : 0 × 4 + 1 × 8 + 2 × 9 + 3 × 5 + 4 × 3 + 5 × 130 = 0 + 8 + 18 + 15 + 12 + 530 = 5830 ≈ 1,93 livre.
c) Médiane : N = 30 pair, valeurs en positions 15 et 16. Effectifs cumulés : 4 ; 12 ; 21… Les positions 15 et 16 correspondent à la valeur 2. Médiane = 2.
d) Q1 : 304 = 7,5 → position 8 : valeur 1. Q3 : 3 × 304 = 22,5 → position 23 : effectifs cumulés 21 puis 26, donc valeur 3. Q1 = 1 ; Q3 = 3.
e) Fréquence des élèves ayant lu au moins 3 livres : 5 + 3 + 130 = 930 = 0,3 = 30 %.
Voici la répartition du nombre de livres lus pendant l'été par les 30 élèves d'une classe :
| Nombre de livres | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 8 | 9 | 5 | 3 | 1 |
b) Moyenne : 0 × 4 + 1 × 8 + 2 × 9 + 3 × 5 + 4 × 3 + 5 × 130 = 0 + 8 + 18 + 15 + 12 + 530 = 5830 ≈ 1,93 livre.
c) Médiane : N = 30 pair, valeurs en positions 15 et 16. Effectifs cumulés : 4 ; 12 ; 21… Les positions 15 et 16 correspondent à la valeur 2. Médiane = 2.
d) Q1 : 304 = 7,5 → position 8 : valeur 1. Q3 : 3 × 304 = 22,5 → position 23 : effectifs cumulés 21 puis 26, donc valeur 3. Q1 = 1 ; Q3 = 3.
e) Fréquence des élèves ayant lu au moins 3 livres : 5 + 3 + 130 = 930 = 0,3 = 30 %.