Exercices corrigés — Suites et raisonnement par récurrence (Terminale)

pour n ≥ 1, w_n = n2ⁿ > 0 : on peut comparer le quotient w_n+1/w_n à 1.
w_n+1/w_n = [n + 12ⁿ⁺¹] × [2ⁿ/n] = n + 12n.
n + 12n ≤ 1 équivaut à n + 1 ≤ 2n, soit n ≥ 1, avec égalité seulement pour n = 1. Donc w₂ = w₁ (en effet w₁ = 12 et w₂ = 24 = 12), puis, pour n ≥ 2, w_n+1/w_n < 1 et w_n+1 < w_n.
La suite est décroissante sur ℕ^*, et strictement décroissante à partir du rang 2. Premiers termes : 12 ; 12 ; 38 ; 14 ; 532… Elle tend vers 0 par croissances comparées.

a) Diminuer de 4 %, c'est multiplier par 1 − 0,04 = 0,96 ; puis on ajoute 1 800 : p_n+1 = 0,96p_n + 1 800. p₁ = 0,96 × 50 000 + 1 800 = 48 000 + 1 800 = 49 800 habitants.
b) q_n+1 = p_n+1 − 45 000 = 0,96p_n + 1 800 − 45 000 = 0,96p_n − 43 200 = 0,96(p_n − 45 000) = 0,96q_n. La suite (q_n) est géométrique de raison 0,96 et de premier terme q₀ = 50 000 − 45 000 = 5 000. Le nombre 45 000 est le point fixe : 0,96 × 45 000 + 1 800 = 45 000.
c) q_n = 5 000 × 0,96ⁿ, donc p_n = 45 000 + 5 000 × 0,96ⁿ. Comme 0 < 0,96 < 1, la suite (0,96ⁿ) est décroissante, et 5 000 > 0 : (p_n) est décroissante. Directement : p_n+1 − p_n = 5 000 × 0,96ⁿ × (0,96 − 1) = −200 × 0,96ⁿ < 0.
d) 0,96ⁿ tend vers 0 quand n tend vers +∞ (suite géométrique de raison comprise entre −1 et 1), donc p_n tend vers 45 000. La population diminue en se rapprochant de 45 000 habitants sans jamais passer en dessous : p_n > 45 000 pour tout n.