convergente. C'est le théorème de la limite monotone : croissante et majorée implique convergente.

+∞. Comme q > 1, les puissances successives augmentent sans borne.

Question 1

Quelles sont les deux étapes d'un raisonnement par récurrence ?

Accepted Answer

initialisation et hérédité. On vérifie la propriété au premier rang, puis on montre qu'elle se transmet d'un rang au suivant.

Question 2

Quelle est la limite de la suite de terme général 0,5ⁿ ?

Accepted Answer

0. La raison vérifie −1 < 0,5 < 1, donc les puissances tendent vers 0.

Question 3

Une suite croissante et majorée est :

Accepted Answer

convergente. C'est le théorème de la limite monotone : croissante et majorée implique convergente.

Question 4

Quelle est la limite de qⁿ lorsque q = 2 ?

Accepted Answer

+∞. Comme q > 1, les puissances successives augmentent sans borne.

Question 5

Quelle est la limite de uₙ = (3n + 1)/(n + 2) quand n → +∞ ?

Accepted Answer

3. On factorise par n en haut et en bas : le quotient tend vers 3/1 = 3.

Question 6

L'initialisation seule suffit à prouver qu'une propriété est vraie pour tout entier n.

Accepted Answer

Faux. Sans l'hérédité, rien ne garantit que la propriété se transmet au rang suivant.

Question 7

Toute suite convergente est bornée.

Accepted Answer

Vrai. À partir d'un certain rang les termes restent près de la limite, et les premiers termes sont en nombre fini.

Question 8

Calcule la limite de uₙ = 5 + 1/n quand n → +∞.

Accepted Answer

5. 1/n tend vers 0, donc la suite tend vers 5.

Question 9

Une suite géométrique a pour premier terme u₀ = 2 et pour raison 3. Donne l'expression de uₙ.

Accepted Answer

uₙ = 2 × 3ⁿ. Pour une suite géométrique, uₙ = u₀ × qⁿ avec ici u₀ = 2 et q = 3.

Question 10

Calcule la somme 1 + 2 + 2² + … + 2¹⁰.

Accepted Answer

2047. La somme vaut (2¹¹ − 1)/(2 − 1) = 2048 − 1 = 2047.

Quiz — Suites et raisonnement par récurrence (Terminale)

Quelles sont les deux étapes d'un raisonnement par récurrence ?