Suites et raisonnement par récurrence — cours de Terminale
Définir une suite, Suites arithmétiques et géométriques, Raisonnement par récurrence, Variations d'une suite Lecture ≈ 5 min.
1. Définir une suite
Une suite numérique (un) associe à chaque entier naturel n, à partir d'un certain rang, un réel un. Elle peut être donnée :
- explicitement : un = f(n) ;
- par récurrence : un terme initial est fixé et un+1 est exprimé en fonction des termes précédents.
Avec u0 = 2 et un+1 = 3un − 1, on calcule successivement u1 = 5, u2 = 14, u3 = 41. Une relation de récurrence permet un calcul de proche en proche, mais ne donne pas immédiatement le terme de rang 100.
2. Suites arithmétiques et géométriques : rappels indispensables
Si un+1 = un + r, alors un = u0 + nr. Plus généralement, un = up + (n − p)r.
∑k=0n uk = (n + 1)u0 + un2.
Si un+1 = q un, alors un = u0qn. Pour q ≠ 1 :
∑k=0n qk = 1 − qn+11 − q.
Pour un+1 = a un + b avec a ≠ 1, chercher le point fixe ℓ vérifiant ℓ = aℓ + b, donc ℓ = b1 − a. Poser vn = un − ℓ. Alors vn+1 = a vn, suite géométrique. Ainsi :
un = ℓ + (u0 − ℓ)an.
u0 = 1 et un+1 = 0,8un + 6. Le point fixe vérifie ℓ = 0,8ℓ + 6, donc ℓ = 30. Posons vn = un − 30. Alors vn+1 = 0,8vn et v0 = −29. Donc un = 30 − 29 × 0,8n.
3. Raisonnement par récurrence
Soit une propriété P(n) définie pour tout entier n ≥ n0. Si :
- P(n0) est vraie (initialisation) ;
- pour tout k ≥ n0, l'hypothèse P(k) vraie entraîne P(k + 1) vraie (hérédité) ;
alors P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0.
- Annoncer clairement la propriété P(n).
- Initialisation : vérifier au premier rang, sans supposer le résultat.
- Hérédité : écrire « Soit k ∈ ℕ » (ou k ≥ n0 si la propriété démarre plus loin) — l'entier doit toujours être quantifié et son ensemble nommé — puis supposer P(k) vraie, annoncer ce qu'on veut démontrer, et établir P(k + 1).
- Conclusion : citer le principe de récurrence et préciser tous les rangs concernés.
Démontrons que, pour tout n ≥ 1, 1 + 2 + … + n = nn + 12.
Initialisation. Pour n = 1, le membre de gauche vaut 1 et celui de droite 1 × 22 = 1. L'égalité est donc vérifiée au rang 1.
Hérédité. Soit k un entier tel que k ≥ 1. Supposons la formule vraie pour cet entier k. Démontrons qu'elle est alors vraie au rang k + 1 :
1 + 2 + … + k + (k + 1) = kk + 12 + (k + 1)
= (k + 1)(k2 + 1) = (k + 1)k + 22, formule au rang k + 1.
Conclusion. L'égalité est vérifiée au rang 1 et se transmet d'un rang au suivant. Le principe de récurrence donne alors, pour tout entier n ≥ 1 : 1 + 2 + … + n = nn + 12.
u0 = 1 et un+1 = √2 + un. Montrons que, pour tout entier naturel n, 1 ≤ un ≤ 2.
Notons P(n) la propriété : « 1 ≤ un ≤ 2 ».
Initialisation. u0 = 1, et 1 ≤ 1 ≤ 2. P(0) est donc vraie.
Hérédité. Soit k ∈ ℕ. On suppose P(k) vraie, c'est-à-dire 1 ≤ uk ≤ 2. Démontrons qu'elle est alors vraie au rang k + 1, c'est-à-dire 1 ≤ uk+1 ≤ 2.
En ajoutant 2 à chaque membre de l'hypothèse de récurrence : 3 ≤ 2 + uk ≤ 4.
La fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[, donc √3 ≤ √2 + uk ≤ √4, c'est-à-dire √3 ≤ uk+1 ≤ 2.
Or √3 ≥ 1, donc 1 ≤ uk+1 ≤ 2 : la propriété est vraie au rang k + 1.
Conclusion. P(0) est vraie et P se transmet d'un rang au suivant. Le principe de récurrence donne alors, pour tout n ∈ ℕ : 1 ≤ un ≤ 2.
4. Variations d'une suite
La suite (un) est croissante si un+1 ≥ un pour tout n, décroissante si l'inégalité est inversée, monotone si elle est croissante ou décroissante. Elle est majorée par M si un ≤ M, minorée par m si un ≥ m, bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
- Calculer un+1 − un et étudier son signe.
- Si les termes sont strictement positifs, comparer un+1/un à 1.
- Si un = f(n), utiliser les variations de f sur un intervalle contenant les entiers considérés.
- Pour un+1 = f(un), établir d'abord un intervalle stable, puis étudier f(x) − x.
Pour la suite un = n + 1n + 2,
un+1 − un = n + 2n + 3 − n + 1n + 2
= [ (n + 2)2 − (n + 1)(n + 3) ]/[ (n + 2)(n + 3) ] = 1/[ (n + 2)(n + 3) ] > 0.
La suite est strictement croissante. Comme un = 1 − 1n + 2 < 1, elle est majorée par 1.
- Dans l'hérédité, supposer directement la propriété au rang k + 1 : seul le rang k peut être supposé.
- Oublier l'initialisation ou démarrer au mauvais rang.
- Diviser par un sans avoir établi sa stricte positivité.
- Croire que quelques valeurs numériques prouvent une monotonie.