Exercices corrigés — Suites et raisonnement par récurrence (Terminale)

notons P(n) la propriété : « 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)2n + 16 », définie pour n ≥ 1.

Initialisation. Pour n = 1, le membre de gauche vaut 1² = 1 et le membre de droite 1 × 2 × 36 = 1. P(1) est donc vraie.

Hérédité. Soit k un entier tel que k ≥ 1. On suppose P(k) vraie, c'est-à-dire 1² + … + k² = k(k + 1)2k + 16. Démontrons que P(k + 1) est vraie, c'est-à-dire 1² + … + (k + 1)² = (k + 1)(k + 2)2k + 36.
1² + … + k² + (k + 1)² = k(k + 1)2k + 16 + (k + 1)² d'après l'hypothèse de récurrence.
On factorise par k + 16 : la somme vaut (k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)]/6 = (k + 1)2k² + 7k + 66.
Or (k + 2)(2k + 3) = 2k² + 3k + 4k + 6 = 2k² + 7k + 6. La somme vaut donc (k + 1)(k + 2)2k + 36, qui est bien l'expression attendue au rang k + 1 : en remplaçant n par k + 1 dans la formule, on obtient (k + 1)((k + 1) + 1)2(k + 1) + 16.

Conclusion. P(1) est vraie et P se transmet d'un rang au suivant. Le principe de récurrence donne alors, pour tout entier n ≥ 1 : 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)2n + 16. Vérification : pour n = 3, 1 + 4 + 9 = 14 et 3 × 4 × 76 = 14.

la suite est arithmético-géométrique : u_n+1 = au_n + b avec a = 0,6 et b = 8. On cherche le point fixe ℓ vérifiant ℓ = 0,6ℓ + 8 : 0,4ℓ = 8, donc ℓ = 20.
Posons v_n = u_n − 20. Alors v_n+1 = u_n+1 − 20 = 0,6u_n + 8 − 20 = 0,6u_n − 12 = 0,6(u_n − 20) = 0,6v_n : la suite (v_n) est géométrique de raison 0,6 et de premier terme v₀ = u₀ − 20 = 4 − 20 = −16.
Donc v_n = −16 × 0,6ⁿ, puis u_n = v_n + 20 = 20 − 16 × 0,6ⁿ pour tout n ∈ ℕ.
Vérification : u₀ = 20 − 16 = 4 et u₁ = 20 − 9,6 = 10,4 ; par la relation de récurrence, u₁ = 0,6 × 4 + 8 = 10,4.