Suites et raisonnement par récurrence — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 5 points à retenir et 4 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Définir une suite
Définitions
Une suite numérique (un) associe à chaque entier naturel n, à partir d'un certain rang, un réel un. Elle peut être donnée :
- explicitement : un = f(n) ;
- par récurrence : un terme initial est fixé et un+1 est exprimé en fonction des termes précédents.
2. Suites arithmétiques et géométriques : rappels indispensables
Suite arithmétique
Si un+1 = un + r, alors un = u0 + nr. Plus généralement, un = up + (n − p)r.
∑k=0n uk = (n + 1)u0 + un2.
Suite géométrique
Si un+1 = q un, alors un = u0qn. Pour q ≠ 1 :
∑k=0n qk = 1 − qn+11 − q.
3. Raisonnement par récurrence
Principe de récurrence
Soit une propriété P(n) définie pour tout entier n ≥ n0. Si :
- P(n0) est vraie (initialisation) ;
- pour tout k ≥ n0, l'hypothèse P(k) vraie entraîne P(k + 1) vraie (hérédité) ;
alors P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0.
4. Variations d'une suite
Définitions
La suite (un) est croissante si un+1 ≥ un pour tout n, décroissante si l'inégalité est inversée, monotone si elle est croissante ou décroissante. Elle est majorée par M si un ≤ M, minorée par m si un ≥ m, bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1géométrique
Pour un+1 = a un + b avec a ≠ 1, chercher le point fixe ℓ vérifiant ℓ = aℓ + b, donc ℓ = b1 − a. Poser vn = un − ℓ. Alors vn+1 = a vn, suite géométrique. Ainsi :
un = ℓ + (u0 − ℓ)an.
Méthode 2Rédaction attendue
- Annoncer clairement la propriété P(n).
- Initialisation : vérifier au premier rang, sans supposer le résultat.
- Hérédité : écrire « Soit k ∈ ℕ » (ou k ≥ n0 si la propriété démarre plus loin) — l'entier doit toujours être quantifié et son ensemble nommé — puis supposer P(k) vraie, annoncer ce qu'on veut démontrer, et établir P(k + 1).
- Conclusion : citer le principe de récurrence et préciser tous les rangs concernés.
Méthode 3Étudier les variations
- Calculer un+1 − un et étudier son signe.
- Si les termes sont strictement positifs, comparer un+1/un à 1.
- Si un = f(n), utiliser les variations de f sur un intervalle contenant les entiers considérés.
- Pour un+1 = f(un), établir d'abord un intervalle stable, puis étudier f(x) − x.
Méthode 4Erreurs fréquentes
- Dans l'hérédité, supposer directement la propriété au rang k + 1 : seul le rang k peut être supposé.
- Oublier l'initialisation ou démarrer au mauvais rang.
- Diviser par un sans avoir établi sa stricte positivité.
- Croire que quelques valeurs numériques prouvent une monotonie.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés