Exercices corrigés — Suites et raisonnement par récurrence (Terminale)

a) u₁ = 2u₀ − 4 = 6 − 4 = 2 ; u₂ = 2 × 2 − 4 = 0 ; u₃ = 2 × 0 − 4 = −4.
b) Les termes calculés diminuent : on conjecture que la suite est décroissante. Ce n'est qu'une conjecture ; la formule du c) la confirmera, puisque 2ⁿ croît.
c) Notons P(n) la propriété : « u_n = 4 − 2ⁿ ».

Initialisation. Pour n = 0 : 4 − 2⁰ = 4 − 1 = 3 = u₀. P(0) est donc vraie.

Hérédité. Soit k ∈ ℕ. On suppose P(k) vraie, c'est-à-dire u_k = 4 − 2^k. Démontrons qu'elle est alors vraie au rang k + 1, c'est-à-dire u_k+1 = 4 − 2^k+1.
Par définition de la suite, u_k+1 = 2u_k − 4. En remplaçant u_k grâce à l'hypothèse de récurrence : u_k+1 = 2(4 − 2^k) − 4 = 8 − 2 × 2^k − 4 = 4 − 2^k+1. La propriété est vraie au rang k + 1.

Conclusion. P(0) est vraie et P se transmet d'un rang au suivant. Le principe de récurrence donne alors, pour tout n ∈ ℕ : u_n = 4 − 2ⁿ. Vérification : u₃ = 4 − 8 = −4, conforme au calcul direct.

notons P(n) la propriété : « 2ⁿ ≥ n + 1 ».

Initialisation. Pour n = 0 : 2⁰ = 1 et 0 + 1 = 1, donc 2⁰ ≥ 0 + 1. P(0) est donc vraie.

Hérédité. Soit k ∈ ℕ. On suppose P(k) vraie, c'est-à-dire 2^k ≥ k + 1. Démontrons qu'elle est alors vraie au rang k + 1, c'est-à-dire 2^k+1 ≥ k + 2.
En multipliant l'hypothèse de récurrence par 2, strictement positif, ce qui conserve le sens de l'inégalité : 2 × 2^k ≥ 2(k + 1), soit 2^k+1 ≥ 2k + 2.
Or (2k + 2) − (k + 2) = k ≥ 0, donc 2k + 2 ≥ k + 2.
Par transitivité, 2^k+1 ≥ k + 2 = (k + 1) + 1 : la propriété est vraie au rang k + 1.

Conclusion. P(0) est vraie et P se transmet d'un rang au suivant. Le principe de récurrence donne alors, pour tout n ∈ ℕ : 2ⁿ ≥ n + 1.

notons P(n) la propriété : « 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)2n + 16 », définie pour n ≥ 1.

Initialisation. Pour n = 1, le membre de gauche vaut 1² = 1 et le membre de droite 1 × 2 × 36 = 1. P(1) est donc vraie.

Hérédité. Soit k un entier tel que k ≥ 1. On suppose P(k) vraie, c'est-à-dire 1² + … + k² = k(k + 1)2k + 16. Démontrons que P(k + 1) est vraie, c'est-à-dire 1² + … + (k + 1)² = (k + 1)(k + 2)2k + 36.
1² + … + k² + (k + 1)² = k(k + 1)2k + 16 + (k + 1)² d'après l'hypothèse de récurrence.
On factorise par k + 16 : la somme vaut (k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)]/6 = (k + 1)2k² + 7k + 66.
Or (k + 2)(2k + 3) = 2k² + 3k + 4k + 6 = 2k² + 7k + 6. La somme vaut donc (k + 1)(k + 2)2k + 36, qui est bien l'expression attendue au rang k + 1 : en remplaçant n par k + 1 dans la formule, on obtient (k + 1)((k + 1) + 1)2(k + 1) + 16.

Conclusion. P(1) est vraie et P se transmet d'un rang au suivant. Le principe de récurrence donne alors, pour tout entier n ≥ 1 : 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)2n + 16. Vérification : pour n = 3, 1 + 4 + 9 = 14 et 3 × 4 × 76 = 14.

la suite est arithmético-géométrique : u_n+1 = au_n + b avec a = 0,6 et b = 8. On cherche le point fixe ℓ vérifiant ℓ = 0,6ℓ + 8 : 0,4ℓ = 8, donc ℓ = 20.
Posons v_n = u_n − 20. Alors v_n+1 = u_n+1 − 20 = 0,6u_n + 8 − 20 = 0,6u_n − 12 = 0,6(u_n − 20) = 0,6v_n : la suite (v_n) est géométrique de raison 0,6 et de premier terme v₀ = u₀ − 20 = 4 − 20 = −16.
Donc v_n = −16 × 0,6ⁿ, puis u_n = v_n + 20 = 20 − 16 × 0,6ⁿ pour tout n ∈ ℕ.
Vérification : u₀ = 20 − 16 = 4 et u₁ = 20 − 9,6 = 10,4 ; par la relation de récurrence, u₁ = 0,6 × 4 + 8 = 10,4.

a) Notons P(n) la propriété : « 0 ≤ u_n ≤ 3 ».

Initialisation. u₀ = 0 et 0 ≤ 0 ≤ 3. P(0) est donc vraie.

Hérédité. Soit k ∈ ℕ. On suppose P(k) vraie, c'est-à-dire 0 ≤ u_k ≤ 3. Démontrons qu'elle est alors vraie au rang k + 1, c'est-à-dire 0 ≤ u_k+1 ≤ 3.
En ajoutant 6 à chaque membre de l'hypothèse de récurrence : 6 ≤ 6 + u_k ≤ 9. La fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[, donc √6 ≤ √6 + u_k ≤ √9, c'est-à-dire √6 ≤ u_k+1 ≤ 3. Comme √6 ≥ 0, on obtient 0 ≤ u_k+1 ≤ 3 : P(k + 1) est vraie.

Conclusion. P(0) est vraie et P se transmet d'un rang au suivant. Le principe de récurrence donne alors, pour tout n ∈ ℕ : 0 ≤ u_n ≤ 3.

b) Montrons par récurrence la propriété Q(n) : « u_n ≤ u_n+1 ». Initialisation : u₀ = 0 et u₁ = √6 ≈ 2,45, donc u₀ ≤ u₁ et Q(0) est vraie. Hérédité : soit k ∈ ℕ tel que u_k ≤ u_k+1. Alors 6 + u_k ≤ 6 + u_k+1 ; ces deux nombres sont positifs d'après a), et la racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[, donc √6 + u_k ≤ √6 + u_k+1, soit u_k+1 ≤ u_k+2 : Q(k + 1) est vraie. Conclusion : pour tout n ∈ ℕ, u_n ≤ u_n+1, la suite est croissante. Elle est de plus majorée par 3 : le chapitre suivant montrera qu'elle converge.

on étudie le signe de v_n+1 − v_n. D'abord v_n+1 = (n + 1)² − 6(n + 1) + 10 = n² + 2n + 1 − 6n − 6 + 10 = n² − 4n + 5.
Donc v_n+1 − v_n = (n² − 4n + 5) − (n² − 6n + 10) = 2n − 5.
2n − 5 < 0 si et seulement si n < 2,5, c'est-à-dire pour n = 0, 1, 2 ; et 2n − 5 > 0 pour tout n ≥ 3.
La suite est donc strictement décroissante de v₀ à v₃ (v₀ = 10, v₁ = 5, v₂ = 2, v₃ = 1), puis strictement croissante à partir du rang 3 (v₄ = 2, v₅ = 5…). Elle n'est pas monotone sur ℕ ; son minimum est v₃ = 1. On le retrouve avec la fonction f(x) = x² − 6x + 10, dont le minimum est atteint en x = 3.

pour n ≥ 1, w_n = n2ⁿ > 0 : on peut comparer le quotient w_n+1/w_n à 1.
w_n+1/w_n = [n + 12ⁿ⁺¹] × [2ⁿ/n] = n + 12n.
n + 12n ≤ 1 équivaut à n + 1 ≤ 2n, soit n ≥ 1, avec égalité seulement pour n = 1. Donc w₂ = w₁ (en effet w₁ = 12 et w₂ = 24 = 12), puis, pour n ≥ 2, w_n+1/w_n < 1 et w_n+1 < w_n.
La suite est décroissante sur ℕ^*, et strictement décroissante à partir du rang 2. Premiers termes : 12 ; 12 ; 38 ; 14 ; 532… Elle tend vers 0 par croissances comparées.

a) Diminuer de 4 %, c'est multiplier par 1 − 0,04 = 0,96 ; puis on ajoute 1 800 : p_n+1 = 0,96p_n + 1 800. p₁ = 0,96 × 50 000 + 1 800 = 48 000 + 1 800 = 49 800 habitants.
b) q_n+1 = p_n+1 − 45 000 = 0,96p_n + 1 800 − 45 000 = 0,96p_n − 43 200 = 0,96(p_n − 45 000) = 0,96q_n. La suite (q_n) est géométrique de raison 0,96 et de premier terme q₀ = 50 000 − 45 000 = 5 000. Le nombre 45 000 est le point fixe : 0,96 × 45 000 + 1 800 = 45 000.
c) q_n = 5 000 × 0,96ⁿ, donc p_n = 45 000 + 5 000 × 0,96ⁿ. Comme 0 < 0,96 < 1, la suite (0,96ⁿ) est décroissante, et 5 000 > 0 : (p_n) est décroissante. Directement : p_n+1 − p_n = 5 000 × 0,96ⁿ × (0,96 − 1) = −200 × 0,96ⁿ < 0.
d) 0,96ⁿ tend vers 0 quand n tend vers +∞ (suite géométrique de raison comprise entre −1 et 1), donc p_n tend vers 45 000. La population diminue en se rapprochant de 45 000 habitants sans jamais passer en dessous : p_n > 45 000 pour tout n.