Exercices corrigés — Primitives et équations différentielles (Terminale)

l'équation est de la forme y' = ay + b avec a = 2 et b = −6. On cherche d'abord la solution constante ℓ : 0 = 2ℓ − 6 donne ℓ = 3. On vérifie que la fonction constante 3 est solution : sa dérivée 0 est bien égale à 2 × 3 − 6.
On pose z = y − 3. Alors z' = y' = 2y − 6 = 2(y − 3) = 2z : z vérifie y' = 2y, donc z(x) = Ce^2x. Les solutions sont y(x) = 3 + Ce^2x, C ∈ ℝ.
Condition initiale : y(0) = 3 + C = 5, donc C = 2, et y(x) = 3 + 2e^2x.
Vérification : y'(x) = 4e^2x et 2y(x) − 6 = 6 + 4e^2x − 6 = 4e^2x. La solution s'éloigne de l'équilibre 3 car a = 2 > 0 : l'équilibre est instable.

a) En développant : T' = −0,1T + 2,5, soit a = −0,1 et b = 2,5.
b) La solution constante est ℓ = −ba = 25 : c'est la température ambiante, pour laquelle le café ne se refroidit plus. Les solutions sont T(t) = 25 + Ce^−0,1t. La condition T(0) = 85 donne 25 + C = 85, donc C = 60 et T(t) = 25 + 60e^−0,1t.
c) Comme −0,1 < 0, e^−0,1t → 0 quand t → +∞, donc T(t) → 25 : le café tend vers la température de la pièce, en restant toujours au-dessus (60e^−0,1t > 0).
T(t) < 40 ⇔ 60e^−0,1t < 15 ⇔ e^−0,1t < 14 ⇔ −0,1t < ln(14) = −ln 4 ⇔ t > 10 ln 4 ≈ 13,9. Le café passe sous 40 °C après environ 14 minutes. Vérification : T(14) = 25 + 60e^−1,4 ≈ 25 + 14,8 = 39,8 °C.