Exercices corrigés — Primitives et équations différentielles (Terminale)

on pose u(x) = 2x + 1, donc u'(x) = 2. La forme u'u³ a pour primitive u⁴4. Or f(x) = u³ = (12) × u'u³ : il manque le facteur u' = 2, que l'on compense par 12.
Les primitives de f sont donc F(x) = (12) × (2x + 1)⁴/4 + C = (2x + 1)⁴/8 + C.
Vérification par dérivation : [(2x + 1)⁴/8]' = 4 × 2 × (2x + 1)³/8 = (2x + 1)³.
Condition : F(0) = 1⁴8 + C = 18 + C = 1, donc C = 78. La primitive cherchée est F(x) = (2x + 1)⁴/8 + 78. Sans la compensation par 12, on aurait obtenu (2x + 1)⁴/4, dont la dérivée vaut 2(2x + 1)³ : le double de f.

les solutions de l'équation y' = ay sur ℝ sont les fonctions y(x) = Ce^ax, C ∈ ℝ. Ici a = 3 : y(x) = Ce^3x.
La condition initiale fixe C : y(0) = Ce⁰ = C, donc C = −2.
L'unique solution est y(x) = −2e^3x. Vérification : y'(x) = −6e^3x = 3 × (−2e^3x) = 3y(x), et y(0) = −2.
Cette fonction est strictement négative et tend vers −∞ en +∞ : un coefficient a > 0 traduit une croissance exponentielle (ici en valeur absolue), un coefficient a < 0 une décroissance vers 0.