Exercices corrigés — Primitives et équations différentielles (Terminale)

l'équation est de la forme y' = ay + f(x) avec a = −1 et f(x) = 2x + 1, fonction affine. On cherche une solution particulière de la même forme : y_p(x) = px + q, donc y_p' = p.
y_p est solution si p = −(px + q) + 2x + 1 = (2 − p)x + (1 − q) pour tout x. On identifie : le coefficient de x donne 2 − p = 0, soit p = 2 ; le terme constant donne p = 1 − q, soit q = 1 − 2 = −1. Ainsi y_p(x) = 2x − 1. Vérification : y_p' = 2 et −(2x − 1) + 2x + 1 = 2.
L'équation homogène associée z' = −z a pour solutions z(x) = Ce^−x.
Les solutions de l'équation complète sont y(x) = 2x − 1 + Ce^−x, C ∈ ℝ. Quand x → +∞, le terme Ce^−x tend vers 0 : toutes les solutions se rapprochent de la droite y = 2x − 1.

a) Si y_p(x) = ke^x, alors y_p'(x) = ke^x, et 2y_p(x) + e^x = (2k + 1)e^x. L'égalité y_p' = 2y_p + e^x pour tout x équivaut à k = 2k + 1, soit k = −1. La fonction y_p(x) = −e^x est une solution particulière. Cette forme convient parce que e^x n'est pas solution de l'équation homogène (l'exposant 1 est différent de 2).
b) L'équation homogène z' = 2z a pour solutions z(x) = Ce^2x. Les solutions de l'équation complète sont y(x) = −e^x + Ce^2x, C ∈ ℝ.
c) y(0) = −1 + C = 0 donne C = 1. La solution cherchée est y(x) = e^2x − e^x.
Vérification : y'(x) = 2e^2x − e^x, et 2y(x) + e^x = 2e^2x − 2e^x + e^x = 2e^2x − e^x. Les deux expressions coïncident, et y(0) = 1 − 1 = 0.