Primitives et équations différentielles — cours de Terminale

Primitive d'une fonction, Tableau des primitives usuelles, Reconnaître une dérivée composée, Équation différentielle y' = ay Lecture ≈ 4 min.

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1. Primitive d'une fonction

Définition

Soit f définie sur un intervalle I. Une fonction F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et F' = f.

Ensemble des primitives

Si F est une primitive de f sur un intervalle I, alors toutes les primitives de f sont les fonctions x ↦ F(x) + C, où C est une constante réelle.

Démonstration

Si G est une autre primitive, (G − F)' = G' − F' = f − f = 0. Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante, donc G = F + C. Réciproquement, (F + C)' = f.

2. Tableau des primitives usuelles

f(x)	Une primitive F(x)	Condition
xⁿ	xⁿ⁺¹/(n + 1)	n entier, n ≠ −1 ; intervalle ne contenant pas 0 si n < 0
1x	ln\|x\|	intervalle ne contenant pas 0
e^x	e^x	ℝ
cos x	sin x	ℝ
sin x	−cos x	ℝ
1x²	−1x	intervalle ne contenant pas 0
1√x	2√x	]0 ; +∞[

Linéarité

Si F et G sont des primitives de f et g, alors αF + βG est une primitive de αf + βg.

3. Reconnaître une dérivée composée

Formes à reconnaître

Fonction à intégrer	Primitive	Condition
u'e^u	e^u	aucune autre
u'/u	ln\|u\|	u ne s'annule pas
u'uⁿ	uⁿ⁺¹/(n + 1)	n entier, n ≠ −1 ; u ne s'annule pas si n < 0
u'cos(u)	sin(u)
u'sin(u)	−cos(u)

Exemples

Une primitive de 6xe^3x²+1 est e^3x²+1.
Une primitive de 2x/(x² + 4) est ln(x² + 4), car le dénominateur reste positif.
Une primitive de (2x + 1)⁵ est (2x + 1)⁶/12 : le facteur intérieur 2 doit être compensé.

Vérification systématique

Dériver la primitive proposée. Cette vérification détecte immédiatement un facteur oublié. Par exemple, la dérivée de (2x + 1)⁶/12 vaut [6 × 212](2x + 1)⁵ = (2x + 1)⁵.

4. Équation différentielle y' = ay

Définition

Une équation différentielle relie une fonction inconnue y à une ou plusieurs de ses dérivées. Résoudre sur un intervalle consiste à déterminer toutes les fonctions qui vérifient l'égalité en chaque point.

Solutions

Pour a réel, les solutions de y' = ay sur ℝ sont :

y(x) = Ce^ax, C ∈ ℝ.

Vérification et idée de preuve

La dérivée de Ce^ax est aCe^ax = ay. Réciproquement, si y' = ay, la fonction x ↦ y(x)e^−ax a pour dérivée (y' − ay)e^−ax = 0 ; elle est constante.

Condition initiale

Résoudre y' = −0,4y et y(2) = 5. La solution générale est y(x) = Ce^−0,4x. La condition donne Ce^−0,8 = 5, donc C = 5e^0,8. Forme plus lisible : y(x) = 5e^{−0,4(x−2)}.

5. Équation y' = ay + b

PropriétéSolutions pour a ≠ 0

Une solution constante est ℓ = −ba. Toutes les solutions sont :

y(x) = Ce^ax − ba.

Si a = 0, l'équation devient y' = b, dont les solutions sont y(x) = bx + C.

Méthode du décalage

Poser z = y − ℓ, où ℓ vérifie 0 = aℓ + b. Alors z' = y' = ay + b = a(z + ℓ) + b = az. On revient à l'équation précédente.

Modèle de refroidissement

Une température T vérifie T' = −0,2(T − 20), soit T' = −0,2T + 4. L'équilibre vaut 20. Les solutions sont T(t) = 20 + Ce^−0,2t. Si T(0) = 80, alors C = 60 et T(t) = 20 + 60e^−0,2t. La température tend vers 20.

6. Équation y' = ay + f et solution particulière

Principe

Considérons y' = ay + f(x) sur un intervalle, où a est constant. Si y_p est une solution particulière, alors toutes les solutions sont :

y(x) = y_p(x) + Ce^ax, C ∈ ℝ.

Démonstration et recherche d'une solution particulière

Si y et y_p sont solutions, leur différence z = y − y_p vérifie z' = az, donc z = Ce^ax. Réciproquement, toute fonction ainsi obtenue vérifie l'équation. Pour trouver y_p, essayer une forme simple adaptée à f : constante si f est constante, affine si f est affine, puis identifier les coefficients.

Exemple résolu

Résolvons y' = 2y + x. Cherchons une solution particulière affine y_p(x) = px + q. L'égalité p = 2(px + q) + x impose 2p + 1 = 0 et 2q = p. Donc p = −12 et q = −14. Les solutions sont :

y(x) = −x2 − 14 + Ce^2x.

Avec y(0) = 34, on obtient 34 = −14 + C, donc C = 1.

7. Méthode d'Euler : approximation (approfondissement)

Principe algorithmique

Pour y' = f(t,y) et un pas h, l'approximation affine donne :

y_n+1 = y_n + h f(t_n,y_n), t_n+1 = t_n + h.

def euler(f, t0, y0, h, n):
    t, y = t0, y0
    valeurs = [(t, y)]
    for _ in range(n):
        y = y + h * f(t, y)
        t = t + h
        valeurs.append((t, y))
    return valeurs

Cette méthode numérique est un approfondissement algorithmique utile ; elle ne remplace pas une solution exacte lorsqu'elle est accessible.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante C dans une famille de primitives.
Intégrer une composée sans compenser la dérivée intérieure.
Écrire les solutions de y' = ay sous la forme Ce^x en oubliant a.
Appliquer la condition initiale avant d'avoir écrit la solution générale.
Pour y' = ay + f, ajouter directement f à la solution homogène au lieu de rechercher une véritable solution particulière.

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