Exercices corrigés — Primitives et équations différentielles (Terminale)

a) Une primitive de 4x³ est x⁴ ; une primitive de −1x² est 1x, car (1x)' = −1x². Donc F(x) = x⁴ + 1x. Vérification : F'(x) = 4x³ − 1x².
b) On reconnaît la forme u'e^u avec u(x) = x² et u'(x) = 2x. Une primitive est G(x) = e^x2. Vérification : (e^x2)' = 2xe^x2.
c) Forme u'/u avec u(x) = 3x + 1, u' = 3, et u > 0 sur l'intervalle. Une primitive est H(x) = ln(3x + 1). Vérification : [ln(3x + 1)]' = 33x + 1.
d) Comme [sin(2x)]' = 2 cos(2x), il faut compenser le facteur 2 : une primitive de cos(2x) est K(x) = (12) sin(2x). Vérification : [(12) sin(2x)]' = (12) × 2 cos(2x) = cos(2x). Toutes les primitives s'obtiennent en ajoutant une constante.

on cherche d'abord toutes les primitives : une primitive de 3x² est x³, une primitive de −4x est −2x², une primitive de 2 est 2x. Les primitives de f sur ℝ sont donc les fonctions F(x) = x³ − 2x² + 2x + C, où C est une constante réelle.
La condition F(1) = 0 fixe la constante : 1 − 2 + 2 + C = 0, soit 1 + C = 0 et C = −1.
L'unique primitive cherchée est F(x) = x³ − 2x² + 2x − 1. Vérification : F'(x) = 3x² − 4x + 2 = f(x) et F(1) = 1 − 2 + 2 − 1 = 0. Remarque : comme F(1) = 0, F(x) se factorise par (x − 1) : F(x) = (x − 1)(x² − x + 1).