Exercices corrigés — Combinatoire et dénombrement (Terminale)

une main est une partie de 5 cartes : l'ordre de distribution ne compte pas. On construit une main avec exactement deux as en deux étapes indépendantes.
Choix des 2 as parmi les 4 as du jeu : C(4,2) = 6.
Choix des 3 autres cartes parmi les 32 − 4 = 28 cartes qui ne sont pas des as : C(28,3) = 28 × 27 × 263 × 2 × 1 = 19 6566 = 3 276.
Par le principe multiplicatif, il y a 6 × 3 276 = 19 656 mains contenant exactement deux as. Prendre les trois autres cartes parmi 28 et non parmi 30 garantit qu'il n'y a pas de troisième as.

un mot de passe est un 6-uplet de chiffres, chaque position offrant 10 choix : il y en a 10⁶ = 1 000 000 au total.
Compter directement ceux qui contiennent au moins un 7 obligerait à distinguer un 7, deux 7, etc. On passe par le complémentaire : les mots de passe sans aucun 7. Chaque position offre alors 9 choix (tous les chiffres sauf 7), soit 9⁶ = 531 441 mots de passe.
Le nombre cherché est 10⁶ − 9⁶ = 1 000 000 − 531 441 = 468 559. Près de la moitié des mots de passe contiennent au moins un 7.