Exercices corrigés — Combinatoire et dénombrement (Terminale)

a) Par définition, C(n,n − k) = n!/[(n − k)! (n − (n − k))!] = n!/[(n − k)! k!] = C(n,k). Interprétation : choisir les k éléments retenus revient à choisir les n − k éléments écartés.
b) C(6,2) = 6!/(2! 4!) = 15. La relation de Pascal annonce C(6,2) = C(5,1) + C(5,2) = 5 + 10 = 15 : elle est vérifiée. C'est ainsi que la ligne 6 du triangle de Pascal s'obtient à partir de la ligne 5.
c) « Au moins 4 femmes » se décompose en deux cas disjoints. Exactement 4 femmes et 1 homme : C(7,4) × C(5,1) = 35 × 5 = 175. Exactement 5 femmes : C(7,5) × C(5,0) = 21 × 1 = 21. Les cas étant disjoints, on additionne : 175 + 21 = 196 commissions. Sur les C(12,5) = 792 commissions possibles, cela représente environ 25 %.

d'après la formule du binôme, (1 + 2x)⁷ = ∑_k=0⁷ C(7,k) 1^7−k (2x)^k = ∑_k=0⁷ C(7,k) 2^k x^k. Le terme général est C(7,k) 2^k x^k.
Le terme en x³ correspond à k = 3 : C(7,3) × 2³ × x³. Or C(7,3) = 7!/(3! 4!) = 35 et 2³ = 8.
Le coefficient de x³ est 35 × 8 = 280. Vérification par le triangle de Pascal : la ligne 7 est 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1, et le nombre en position k = 3 est bien 35.