Exercices corrigés — Combinatoire et dénombrement (Terminale)

on choisit d'abord le comité, c'est-à-dire une partie de 4 personnes parmi 10 : l'ordre ne compte pas, il y a C(10,4) = 10!/(4! 6!) = 210 comités possibles. Pour chacun, on choisit ensuite le président parmi les 4 membres : 4 choix. Par le principe multiplicatif, 210 × 4 = 840 choix.
Autre méthode : choisir d'abord le président parmi les 10 personnes (10 choix), puis les trois autres membres parmi les 9 restantes, C(9,3) = 84 choix. On retrouve 10 × 84 = 840. Les deux décompositions comptent les mêmes objets : un comité de 4 personnes dont l'une est distinguée.

a) Les 5 lettres de MATHS sont distinctes : un anagramme est une permutation de ces 5 lettres. Il y en a 5! = 120.
b) ELEVE compte 5 lettres, dont trois E identiques. Si les lettres étaient toutes distinctes, il y aurait 5! = 120 ordres ; mais permuter les trois E entre eux ne change pas le mot, et chaque mot a ainsi été compté 3! = 6 fois. Il y a donc 5!/3! = 1206 = 20 anagrammes.
c) On considère les deux livres inséparables comme un seul bloc : on range alors 5 objets (le bloc et les 4 autres livres), soit 5! = 120 ordres. À l'intérieur du bloc, les deux livres peuvent être dans 2 ordres. Total : 120 × 2 = 240 rangements. Sans la contrainte, il y en aurait 6! = 720 : la contrainte en élimine les deux tiers.