Exercices corrigés — Combinatoire et dénombrement (Terminale)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Découverte ». Voir les 8 exercices.

Exercice 1 Découverte

Parmi les 120 élèves de terminale d'un lycée, 75 suivent la spécialité mathématiques, 48 la spécialité physique-chimie et 30 suivent les deux. a) Combien d'élèves suivent au moins l'une de ces deux spécialités ? b) Combien n'en suivent aucune ? c) Combien suivent la spécialité mathématiques sans la physique-chimie ?

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Correction détaillée

notons M l'ensemble des élèves suivant mathématiques et P celui des élèves suivant physique-chimie : |M| = 75, |P| = 48 et |M ∩ P| = 30.
a) Le principe d'inclusion-exclusion donne |M ∪ P| = |M| + |P| − |M ∩ P| = 75 + 48 − 30 = 93. Additionner 75 et 48 compterait deux fois les 30 élèves qui suivent les deux spécialités ; on les retranche une fois. 93 élèves suivent au moins l'une des deux.
b) Les élèves qui ne suivent aucune des deux forment le complémentaire de M ∪ P : 120 − 93 = 27 élèves.
c) Les élèves de M qui ne sont pas dans P sont au nombre de |M| − |M ∩ P| = 75 − 30 = 45. Vérification : 45 (mathématiques seules) + 18 (physique-chimie seule) + 30 (les deux) + 27 (aucune) = 120.

Exercice 2 Découverte

a) Une plaque d'immatriculation est formée de deux lettres, puis trois chiffres, puis deux lettres. Combien de plaques peut-on former ? b) Combien de plaques ont quatre lettres toutes différentes ? c) Huit chevaux disputent une course. Combien y a-t-il de tiercés dans l'ordre ? De tiercés dans le désordre ?

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Correction détaillée

a) Chaque lettre offre 26 choix et chaque chiffre 10 choix ; les positions sont indépendantes et les répétitions sont autorisées. Par le principe multiplicatif : 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 26 × 26 = 26⁴ × 10³ = 456 976 × 1 000 = 456 976 000 plaques.
b) Les quatre lettres doivent être distinctes : c'est un arrangement de 4 lettres parmi 26, soit 26 × 25 × 24 × 23 = 358 800 choix. Les chiffres restent libres : 358 800 × 10³ = 358 800 000 plaques.
c) Un tiercé dans l'ordre est une liste ordonnée de 3 chevaux distincts parmi 8 : 8 × 7 × 6 = 336 arrangements. Un tiercé dans le désordre est une partie de 3 chevaux, l'ordre ne comptant plus : C(8,3) = 3363! = 3366 = 56 combinaisons. Chaque groupe de trois chevaux correspond en effet à 3! = 6 ordres d'arrivée possibles.

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