Exercices corrigés — Combinatoire et dénombrement (Terminale)

notons M l'ensemble des élèves suivant mathématiques et P celui des élèves suivant physique-chimie : |M| = 75, |P| = 48 et |M ∩ P| = 30.
a) Le principe d'inclusion-exclusion donne |M ∪ P| = |M| + |P| − |M ∩ P| = 75 + 48 − 30 = 93. Additionner 75 et 48 compterait deux fois les 30 élèves qui suivent les deux spécialités ; on les retranche une fois. 93 élèves suivent au moins l'une des deux.
b) Les élèves qui ne suivent aucune des deux forment le complémentaire de M ∪ P : 120 − 93 = 27 élèves.
c) Les élèves de M qui ne sont pas dans P sont au nombre de |M| − |M ∩ P| = 75 − 30 = 45. Vérification : 45 (mathématiques seules) + 18 (physique-chimie seule) + 30 (les deux) + 27 (aucune) = 120.

a) Chaque lettre offre 26 choix et chaque chiffre 10 choix ; les positions sont indépendantes et les répétitions sont autorisées. Par le principe multiplicatif : 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 26 × 26 = 26⁴ × 10³ = 456 976 × 1 000 = 456 976 000 plaques.
b) Les quatre lettres doivent être distinctes : c'est un arrangement de 4 lettres parmi 26, soit 26 × 25 × 24 × 23 = 358 800 choix. Les chiffres restent libres : 358 800 × 10³ = 358 800 000 plaques.
c) Un tiercé dans l'ordre est une liste ordonnée de 3 chevaux distincts parmi 8 : 8 × 7 × 6 = 336 arrangements. Un tiercé dans le désordre est une partie de 3 chevaux, l'ordre ne comptant plus : C(8,3) = 3363! = 3366 = 56 combinaisons. Chaque groupe de trois chevaux correspond en effet à 3! = 6 ordres d'arrivée possibles.

on choisit d'abord le comité, c'est-à-dire une partie de 4 personnes parmi 10 : l'ordre ne compte pas, il y a C(10,4) = 10!/(4! 6!) = 210 comités possibles. Pour chacun, on choisit ensuite le président parmi les 4 membres : 4 choix. Par le principe multiplicatif, 210 × 4 = 840 choix.
Autre méthode : choisir d'abord le président parmi les 10 personnes (10 choix), puis les trois autres membres parmi les 9 restantes, C(9,3) = 84 choix. On retrouve 10 × 84 = 840. Les deux décompositions comptent les mêmes objets : un comité de 4 personnes dont l'une est distinguée.

a) Les 5 lettres de MATHS sont distinctes : un anagramme est une permutation de ces 5 lettres. Il y en a 5! = 120.
b) ELEVE compte 5 lettres, dont trois E identiques. Si les lettres étaient toutes distinctes, il y aurait 5! = 120 ordres ; mais permuter les trois E entre eux ne change pas le mot, et chaque mot a ainsi été compté 3! = 6 fois. Il y a donc 5!/3! = 1206 = 20 anagrammes.
c) On considère les deux livres inséparables comme un seul bloc : on range alors 5 objets (le bloc et les 4 autres livres), soit 5! = 120 ordres. À l'intérieur du bloc, les deux livres peuvent être dans 2 ordres. Total : 120 × 2 = 240 rangements. Sans la contrainte, il y en aurait 6! = 720 : la contrainte en élimine les deux tiers.

une main est une partie de 5 cartes : l'ordre de distribution ne compte pas. On construit une main avec exactement deux as en deux étapes indépendantes.
Choix des 2 as parmi les 4 as du jeu : C(4,2) = 6.
Choix des 3 autres cartes parmi les 32 − 4 = 28 cartes qui ne sont pas des as : C(28,3) = 28 × 27 × 263 × 2 × 1 = 19 6566 = 3 276.
Par le principe multiplicatif, il y a 6 × 3 276 = 19 656 mains contenant exactement deux as. Prendre les trois autres cartes parmi 28 et non parmi 30 garantit qu'il n'y a pas de troisième as.

un mot de passe est un 6-uplet de chiffres, chaque position offrant 10 choix : il y en a 10⁶ = 1 000 000 au total.
Compter directement ceux qui contiennent au moins un 7 obligerait à distinguer un 7, deux 7, etc. On passe par le complémentaire : les mots de passe sans aucun 7. Chaque position offre alors 9 choix (tous les chiffres sauf 7), soit 9⁶ = 531 441 mots de passe.
Le nombre cherché est 10⁶ − 9⁶ = 1 000 000 − 531 441 = 468 559. Près de la moitié des mots de passe contiennent au moins un 7.

a) Par définition, C(n,n − k) = n!/[(n − k)! (n − (n − k))!] = n!/[(n − k)! k!] = C(n,k). Interprétation : choisir les k éléments retenus revient à choisir les n − k éléments écartés.
b) C(6,2) = 6!/(2! 4!) = 15. La relation de Pascal annonce C(6,2) = C(5,1) + C(5,2) = 5 + 10 = 15 : elle est vérifiée. C'est ainsi que la ligne 6 du triangle de Pascal s'obtient à partir de la ligne 5.
c) « Au moins 4 femmes » se décompose en deux cas disjoints. Exactement 4 femmes et 1 homme : C(7,4) × C(5,1) = 35 × 5 = 175. Exactement 5 femmes : C(7,5) × C(5,0) = 21 × 1 = 21. Les cas étant disjoints, on additionne : 175 + 21 = 196 commissions. Sur les C(12,5) = 792 commissions possibles, cela représente environ 25 %.

d'après la formule du binôme, (1 + 2x)⁷ = ∑_k=0⁷ C(7,k) 1^7−k (2x)^k = ∑_k=0⁷ C(7,k) 2^k x^k. Le terme général est C(7,k) 2^k x^k.
Le terme en x³ correspond à k = 3 : C(7,3) × 2³ × x³. Or C(7,3) = 7!/(3! 4!) = 35 et 2³ = 8.
Le coefficient de x³ est 35 × 8 = 280. Vérification par le triangle de Pascal : la ligne 7 est 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1, et le nombre en position k = 3 est bien 35.