Exercices corrigés — Les nombres décimaux (CM2)

Après la virgule, les rangs se suivent toujours dans le même ordre : dixièmes, centièmes, millièmes.
Ici, la partie décimale est 268 : le 2 est au rang des dixièmes, le 6 au rang des centièmes, le 8 au rang des millièmes.
Chiffre des dixièmes : 2. Chiffre des centièmes : 6.
Piège : les rangs après la virgule se lisent de gauche à droite, alors que ceux de la partie entière se comptent de droite à gauche. La virgule sert de repère aux deux.

Chaque terme donne un chiffre à son rang : 5 aux unités, 3 aux dixièmes, 8 aux centièmes.
Résultat : 5,38.
Vérification en repassant aux fractions : 5,38 = 5 + 0,3 + 0,08, et 0,3 = 310, 0,08 = 8100.
Piège : si un rang manquait, par exemple 5 + 8100, il faudrait écrire un zéro aux dixièmes et obtenir 5,08, et non 5,8.

On compare d'abord les parties entières, puis, à égalité, les chiffres après la virgule rang par rang.
12,4 et 12,40 : même partie entière, même chiffre des dixièmes, et le 0 des centièmes n'ajoute rien. Donc 12,4 = 12,40.
6,7 et 6,58 : parties entières égales ; aux dixièmes, 7 est plus grand que 5. Donc 6,7 > 6,58.
0,9 et 0,89 : parties entières égales ; aux dixièmes, 9 est plus grand que 8. Donc 0,9 > 0,89.
Piège : un nombre décimal n'est pas plus grand parce qu'il a plus de chiffres. 0,89 a deux décimales et reste plus petit que 0,9.

Les parties entières sont toutes égales à 3 : on compare donc les décimales.
Pour y voir clair, on complète avec des zéros jusqu'aux millièmes : 3,070 ; 3,700 ; 3,007 ; 3,700 ; 3,100.
On compare alors les parties décimales comme des entiers : 7 < 70 < 100 < 700.
Ordre croissant : 3,007 < 3,07 < 3,1 < 3,7 = 3,70.
Ajouter des zéros à droite de la partie décimale ne change pas le nombre : c'est ce qui permet cette comparaison.

Encadrer par des dixièmes, c'est trouver le dixième juste en dessous et le suivant.
15,49 contient 154 dixièmes entiers, donc 15,4 < 15,49 < 15,5.
Pour l'arrondi à l'unité, on regarde le chiffre des dixièmes : c'est 4, plus petit que 5, donc on garde l'unité inférieure. Arrondi : 15.
Piège : le 9 des centièmes n'entre pas en jeu pour l'arrondi à l'unité. Seul compte le chiffre placé juste après le rang demandé.

Diviser par 100 décale les chiffres de deux rangs vers la droite : 903100 = 9,03.
On peut le lire ainsi : 903 centièmes valent 9 unités et 3 centièmes.
Pour l'arrondi au dixième, on regarde le chiffre des centièmes : c'est 3, plus petit que 5, donc on garde. Arrondi : 9,0, c'est-à-dire 9.
Écrire 9,0 ou 9 revient au même ; la forme 9,0 rappelle simplement que l'arrondi a été fait au dixième.

On lit chaque chiffre à son rang : 7 unités, 2 dixièmes, 5 centièmes.
En somme : 7,25 = 7 + 210 + 5100.
En une seule fraction, on compte combien il y a de centièmes en tout : 7 unités valent 700 centièmes, 2 dixièmes valent 20 centièmes, plus 5 centièmes, soit 725 centièmes.
Donc 7,25 = 725100.
Vérification : 725 ÷ 100 = 7,25. On peut aussi simplifier par 25 et obtenir 294, mais ce n'est plus une fraction décimale.

À première vue, aucun entier ne sépare 45 dixièmes de 46 dixièmes. Il faut donc descendre d'un rang et raisonner en centièmes.
4,5 = 4,50 et 4,6 = 4,60. Entre 450 centièmes et 460 centièmes, on trouve 451, 452, et ainsi de suite.
Par exemple : 4,55 convient, car 4,50 < 4,55 < 4,60.
Il en existe neuf avec deux décimales : 4,51 à 4,59. En passant aux millièmes, on en trouverait 99 de plus, et ainsi de suite : entre deux décimaux, il y a toujours une infinité de décimaux.
C'est une différence importante avec les entiers : entre 45 et 46, il n'y a aucun entier.