Exercices corrigés — Géométrie (CM2)

Elles forment chacune un angle droit avec (d), donc elles vont dans la même direction.
Réponse : (d1) et (d2) sont parallèles entre elles.
C'est une propriété du cours : si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles.
Piège : ne pas conclure qu'elles sont perpendiculaires entre elles. Deux angles droits pris sur la même droite ne se cumulent pas ; ils garantissent au contraire un écart constant.

Quatre angles droits font de la figure un rectangle ; quatre côtés égaux en font un losange.
La figure qui possède les deux propriétés est le carré.
Le carré est donc à la fois un rectangle particulier et un losange particulier.
Attention à ne pas s'arrêter à une seule propriété : un rectangle a quatre angles droits sans avoir quatre côtés égaux, et un losange a quatre côtés égaux sans avoir forcément d'angle droit.

Le diamètre traverse le cercle en passant par le centre : il vaut deux rayons.
d = 2 × 4,5 = 9 cm.
Vérification : le rayon est bien la moitié du diamètre, 9 ÷ 2 = 4,5 cm.
Pour tracer ce cercle au compas, c'est l'écartement du compas qui vaut 4,5 cm, c'est-à-dire le rayon, et non le diamètre.

Un axe de symétrie partage la figure en deux moitiés qui se superposent par pliage.
Rectangle : 2 axes, les deux médianes qui joignent les milieux des côtés opposés.
Carré : 4 axes, les deux médianes et les deux diagonales.
Triangle équilatéral : 3 axes, un par sommet, passant par le milieu du côté opposé.
Piège : les diagonales d'un rectangle ne sont pas des axes de symétrie. En pliant le long d'une diagonale, les deux moitiés ne se superposent pas, sauf si le rectangle est un carré.

On compare les longueurs des trois côtés.
Deux d'entre eux mesurent 6 cm, le troisième 4 cm : deux côtés sont égaux, le troisième non.
C'est un triangle isocèle.
Il n'est pas équilatéral, car ses trois côtés ne sont pas tous égaux.
Un triangle isocèle possède un axe de symétrie, qui passe par le sommet situé entre les deux côtés égaux et par le milieu du troisième côté.

Dans une réduction, toutes les longueurs sont divisées par le même nombre.
Nouveaux côtés : 12 ÷ 2 = 6 cm ; 8 ÷ 2 = 4 cm ; 10 ÷ 2 = 5 cm.
Les angles ne changent pas : la figure garde exactement la même forme, en plus petit.
C'est ce qui se passe sur une carte ou sur un plan : les distances sont réduites, les directions et les angles sont conservés.
Attention en revanche à l'aire : elle n'est pas divisée par 2, mais par 4, car la base et la hauteur sont toutes deux réduites de moitié.

Les points A et C appartiennent au cercle de centre O, donc OA et OC sont deux rayons : OA = OC = 3 cm.
Le triangle OAC a deux côtés de même longueur : c'est un triangle isocèle en O.
Le segment [AB] est un diamètre, donc AB = 2 × 3 = 6 cm.
Ce raisonnement vaut quel que soit le point C choisi sur le cercle : tous les points du cercle sont à 3 cm du centre, c'est la définition même du cercle.
Le triangle OAC ne devient équilatéral que dans un cas particulier, lorsque la corde [AC] mesure elle aussi 3 cm.

Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur ; rien n'est imposé à ses angles.
Un losange n'a donc pas forcément d'angle droit : un losange aplati a deux angles aigus et deux angles obtus.
En revanche, un carré a bien ses quatre côtés de même longueur : il respecte la définition du losange. Un carré est donc un losange, un losange particulier qui possède en plus quatre angles droits.
Retenir le sens de l'inclusion : tout carré est un losange, mais tous les losanges ne sont pas des carrés.