Exercices corrigés — Comparer, ranger, encadrer, arrondir les grands nombres (CM1)

On compare d'abord le nombre de chiffres, puis, à égalité, les chiffres rang par rang depuis la gauche.
405 210 et 405 021 ont six chiffres. Les trois premiers sont identiques ; au quatrième rang, 2 est plus grand que 0. Donc 405 210 > 405 021.
99 999 a cinq chiffres et 100 000 en a six, donc 99 999 < 100 000.
1 million s'écrit 1 000 000, à sept chiffres, contre six pour 999 000. Donc 1 000 000 > 999 000.
Retenir : un nombre qui a plus de chiffres est toujours le plus grand, quels que soient ses chiffres.

36 000 n'a que cinq chiffres : c'est le plus petit.
Les trois autres en ont six et commencent par 3. On compare au deuxième rang : 0 pour 306 000 et 300 600, 6 pour 360 000, qui est donc le plus grand.
Entre 306 000 et 300 600, on compare au troisième rang : 6 contre 0, donc 300 600 < 306 000.
Ordre croissant : 36 000 < 300 600 < 306 000 < 360 000.
Ces nombres s'écrivent avec les mêmes chiffres : seule la place de chacun décide de la valeur.

Au millier près, on cherche le millier juste en dessous et le suivant. Le nombre contient 248 milliers entiers, donc 248 000 < 248 963 < 249 000.
À la dizaine de mille près, on compte les dizaines de mille entières : il y en a 24, donc 240 000 < 248 963 < 250 000.
Vérification : l'écart entre les bornes vaut 1 000 dans le premier cas et 10 000 dans le second, ce qui prouve qu'elles sont bien consécutives.
Encadrer n'est pas arrondir : ici on donne les deux bornes, sans choisir laquelle est la plus proche.

On regarde à chaque fois le chiffre placé juste à droite du rang demandé.
À la centaine : le chiffre des dizaines est 4, plus petit que 5, donc on garde : 62 700.
Au millier : le chiffre des centaines est 7, donc on monte : 63 000.
À la dizaine de mille : le chiffre des milliers est 2, donc on garde : 60 000.
Piège : chaque arrondi part du nombre d'origine. En enchaînant les arrondis les uns sur les autres, on obtiendrait 62 700, puis 63 000, puis 60 000 : le hasard fait qu'ici cela tombe juste, mais la méthode serait fausse.

Pour arrondir à la dizaine de mille, on regarde le chiffre des milliers : ici c'est 8, donc supérieur ou égal à 5, et l'on monte à la dizaine de mille suivante.
La dizaine de mille en dessous est 140 000, celle du dessus 150 000. L'arrondi est donc bien 150 000.
Réponse : oui, le titre du journal est correct.
L'écart avec le nombre exact est de 1 380 habitants. Un arrondi donne un ordre de grandeur commode à retenir, jamais un compte précis.

On cherche les nombres qui ne redescendent pas à 4 000 et ne montent pas à 6 000.
Le plus petit : pour monter de 4 000 à 5 000, il faut que le chiffre des centaines soit au moins 5, d'où 4 500.
Le plus grand : pour ne pas monter à 6 000, il faut que le chiffre des centaines reste inférieur à 5, d'où 5 499.
Réponse : tous les entiers de 4 500 à 5 499, soit 1 000 nombres.
Vérification : 4 499 s'arrondit à 4 000 et 5 500 s'arrondit à 6 000 ; les bornes trouvées sont donc les bonnes.

Les trois nombres ont cinq chiffres. On les compare rang par rang : 84 499 < 84 512 < 85 001.
Arrondis au millier, en regardant le chiffre des centaines :
84 499 : chiffre des centaines 4, on garde, soit 84 000.
84 512 : chiffre des centaines 5, on monte, soit 85 000.
85 001 : chiffre des centaines 0, on garde, soit 85 000.
Deux villes de populations différentes ont le même arrondi : 84 512 et 85 001 sont pourtant séparées par 489 habitants. L'arrondi efface les petites différences, ce qui est parfois utile, parfois trompeur.

On traite les deux conditions séparément, puis on garde ce qui satisfait les deux.
Arrondi à la centaine égal à 3 500 : le nombre est compris entre 3 450 et 3 549.
Arrondi au millier égal à 4 000 : le nombre est compris entre 3 500 et 4 499.
Les nombres qui remplissent les deux conditions sont ceux de 3 500 à 3 549. Par exemple, 3 512 convient.
Vérification pour 3 512 : arrondi à la centaine, le chiffre des dizaines est 1, on garde 3 500 ; arrondi au millier, le chiffre des centaines est 5, on monte à 4 000. Les deux conditions sont bien remplies.
Un nombre comme 3 480 échouerait à la seconde condition, car il s'arrondit à 3 000 au millier.