Exercices corrigés — Nombres entiers et décimaux (6e)

On remplit les classes de trois chiffres en partant de la droite : classe des millions : 4 ; classe des mille : « trois mille » donne 003 (pas de centaines de mille, pas de dizaines de mille) ; classe des unités : « douze » donne 012. Le nombre s'écrit 4 003 012. Les zéros sont indispensables : sans eux, les chiffres changeraient de rang.
« Soixante-dix-huit unités et cinq centièmes » : la partie entière est 78 ; cinq centièmes s'écrivent 0,05, avec un 0 au rang des dixièmes. Le nombre est 78,05. Attention : 78,5 se lirait « soixante-dix-huit unités et cinq dixièmes », dix fois plus.

a) Chaque chiffre a une valeur qui dépend de son rang : 4 803,25 = 4 × 1 000 + 8 × 100 + 0 × 10 + 3 × 1 + 2 × 0,1 + 5 × 0,01. Le 0 des dizaines compte : il maintient le 8 au rang des centaines.
b) 4 803,25 se lit « quatre mille huit cent trois unités et vingt-cinq centièmes » (la partie décimale 25 se lit au rang de son dernier chiffre, les centièmes). 60 012 se lit « soixante mille douze » : la classe des mille contient 60, la classe des unités contient 012.

Dans 6 725,384, on repère les rangs : 6 milliers, 7 centaines, 2 dizaines, 5 unités, puis 3 dixièmes, 8 centièmes, 4 millièmes.
Le chiffre des centièmes est 8 ; le chiffre des centaines est 7.
Le nombre de dixièmes est tout ce qui vaut au moins un dixième : 6 725 unités font 67 250 dixièmes, plus 3 dixièmes, soit 67 253 dixièmes (il reste 84 millièmes). On le lit en cachant les chiffres après le rang des dixièmes : 6 725,3 → 67 253.
De même, le nombre de centaines est 67 : 6 725,384 = 67 centaines + 25,384.

a) Les parties entières sont égales (5). On compare les dixièmes : 4 > 3, donc 5,4 > 5,38. Autre façon : 5,4 = 5,40, et 40 centièmes > 38 centièmes. Ce n'est pas parce que 5,38 a plus de chiffres qu'il est plus grand.
b) 0,900 = 0,9 : les zéros à la fin de la partie décimale sont inutiles, les deux nombres sont égaux.
c) Entre 3,7 et 3,8 : on écrit 3,70 et 3,80 ; le nombre 3,75 convient, car 3,70 < 3,75 < 3,80. Entre 3,7 et 3,71 : on écrit 3,700 et 3,710 ; 3,705 convient. On peut toujours intercaler un nombre décimal entre deux nombres décimaux différents.

Les parties entières sont toutes nulles : on compare les parties décimales. Pour ne pas se tromper, on écrit tous les nombres avec trois chiffres après la virgule : 0,700 ; 0,680 ; 0,701 ; 0,069 ; 0,710.
On compare alors 700, 680, 701, 69 et 710 millièmes : 710 > 701 > 700 > 680 > 69.
Ordre décroissant : 0,71 > 0,701 > 0,7 > 0,68 > 0,069.
Piège évité : 0,069 n'est pas plus grand que 0,7 malgré ses trois chiffres ; son chiffre des dixièmes est 0.

Au dixième : la troncature garde les chiffres jusqu'aux dixièmes et supprime les autres, 7,849 → 7,8. L'arrondi regarde le chiffre suivant, celui des centièmes : 4 < 5, on garde 7,8. Ici troncature et arrondi coïncident.
Au centième : la troncature donne 7,84. L'arrondi regarde le chiffre des millièmes : 9 ≥ 5, on augmente le chiffre des centièmes, 7,84 devient 7,85.
La troncature est toujours inférieure ou égale au nombre ; l'arrondi est la valeur la plus proche, ce qui peut être au-dessus (7,85 est plus proche de 7,849 que 7,84).

Encadrer au dixième, c'est trouver les deux nombres à un chiffre après la virgule qui entourent 15,428 : 15,4 < 15,428 < 15,5. On garde le nombre jusqu'aux dixièmes (15,4) et l'on ajoute un dixième (15,5).
Arrondi au centième : on garde 15,42 et l'on regarde le chiffre des millièmes, 8. Comme 8 ≥ 5, on augmente le chiffre des centièmes : l'arrondi est 15,43.
Vérification : 15,428 est plus proche de 15,43 (écart 0,002) que de 15,42 (écart 0,008).

a) L'unité est partagée en 5 parts égales : une graduation vaut 1 ÷ 5 = 0,2, car 5 × 0,2 = 1.
b) Le point situé 2 graduations après 3 a pour abscisse 3 + 2 × 0,2 = 3,4. Le point situé 4 graduations après 3 a pour abscisse 3 + 4 × 0,2 = 3,8. La cinquième graduation tombe sur 4.
c) 4,2 = 4 + 0,2 : le point d'abscisse 4,2 est 1 graduation après 4. Sur une droite graduée, les nombres sont rangés dans l'ordre croissant de gauche à droite : 3,4 est à gauche de 3,8, lui-même à gauche de 4,2.