Nombres entiers et décimaux — cours de 6e
Chiffres et nombres, Les nombres entiers et le tableau de numération, Les nombres décimaux, Comparer et ranger des nombres Lecture ≈ 7 min.
1. Chiffres et nombres
Un chiffre est un symbole. Il existe dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
Un nombre s'écrit avec un ou plusieurs chiffres. Par exemple, 305 est un nombre écrit avec les trois chiffres 3, 0 et 5.
De la même manière qu'un mot s'écrit avec des lettres, un nombre s'écrit avec des chiffres.
Le nombre 7 s'écrit avec un seul chiffre. Le nombre 2 048 s'écrit avec quatre chiffres : 2, 0, 4 et 8.
Attention : « le chiffre des dizaines de 2 048 » est 4 ; « le nombre de dizaines de 2 048 » est 204 (car 2 048 = 204 × 10 + 8).
2. Les nombres entiers et le tableau de numération
Un nombre entier (ou entier naturel) est un nombre qui s'écrit sans virgule : 0, 1, 2, 3, ..., 125, ..., 3 000 000, ...
Dans notre système de numération (dit décimal et de position), la valeur d'un chiffre dépend de sa position dans le nombre. Chaque position s'appelle un rang.
| Classe des millions | Classe des mille | Classe des unités simples | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| centaines | dizaines | unités | centaines | dizaines | unités | centaines | dizaines | unités |
| 3 | 4 | 0 | 7 | 2 | 1 | 9 | ||
Dans le tableau ci-dessus, le nombre est 3 407 219. Il se lit « trois millions quatre cent sept mille deux cent dix-neuf ».
3 407 219 = 3 × 1 000 000 + 4 × 100 000 + 0 × 10 000 + 7 × 1 000 + 2 × 100 + 1 × 10 + 9 × 1.
Le chiffre des dizaines de mille est 0. Le nombre de milliers est 3 407.
Pour faciliter la lecture, on regroupe les chiffres par tranches de trois (les classes) en partant de la droite, en laissant un espace : on écrit 12 345 678 et non 12345678.
Pour écrire un nombre en lettres : « cent » et « vingt » prennent un « s » lorsqu'ils sont multipliés et non suivis d'un autre nombre (deux cents, quatre-vingts) ; « mille » est invariable. Depuis la réforme de l'orthographe de 1990, on peut relier tous les mots par des traits d'union : « deux-cent-trente-quatre ».
3. Les nombres décimaux
Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec une partie entière et une partie décimale comportant un nombre fini de chiffres, séparées par une virgule.
Exemple : dans 25,376 la partie entière est 25 et la partie décimale est 376 (c'est-à-dire 0,376).
Tout nombre entier est un nombre décimal dont la partie décimale est nulle : 12 = 12,0.
| Partie entière | , | Partie décimale | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| unités de mille | centaines | dizaines | unités | dixièmes | centièmes | millièmes | |
| 2 | 5 | , | 3 | 7 | 6 | ||
| 1 | 0 | 0 | 4 | , | 0 | 5 | |
Un dixième est dix fois plus petit qu'une unité : 1 = 10 dixièmes. Un centième est dix fois plus petit qu'un dixième : 1 dixième = 10 centièmes. Un millième est dix fois plus petit qu'un centième.
0,1 = 110 ; 0,01 = 1100 ; 0,001 = 11 000.
- Écriture décimale : 25,376.
- Décomposition : 25,376 = 2 × 10 + 5 × 1 + 3 × 0,1 + 7 × 0,01 + 6 × 0,001.
- Écriture fractionnaire : 25,376 = 25 3761 000 = 25 + 3761 000.
- Lecture : « vingt-cinq unités et trois cent soixante-seize millièmes » ou « vingt-cinq virgule trois cent soixante-seize ».
Le chiffre des centièmes est 7. Le nombre de centièmes est 2 537 (car 25,376 = 2 537 centièmes + 6 millièmes).
Ajouter ou supprimer des zéros à la fin de la partie décimale ne change pas le nombre : 3,50 = 3,5 = 3,500. De même, des zéros au début de la partie entière sont inutiles : 007 = 7.
En revanche, les zéros placés entre la virgule et un chiffre non nul sont indispensables : 3,05 ≠ 3,5.
4. Comparer et ranger des nombres
Comparer deux nombres, c'est dire lequel est le plus grand (ou s'ils sont égaux). On utilise les symboles :
- < qui se lit « est inférieur à » (plus petit que) ;
- > qui se lit « est supérieur à » (plus grand que) ;
- = qui se lit « est égal à ».
La pointe du symbole est toujours tournée vers le plus petit nombre.
Ranger dans l'ordre croissant : du plus petit au plus grand. Ranger dans l'ordre décroissant : du plus grand au plus petit.
- On compare d'abord les parties entières : le nombre dont la partie entière est la plus grande est le plus grand.
- Si les parties entières sont égales, on compare les chiffres des dixièmes, puis les chiffres des centièmes, puis des millièmes, etc.
Astuce : on peut ajouter des zéros à la fin de la partie décimale pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule.
Comparer 7,8 et 7,25.
Les parties entières sont égales (7). On compare les dixièmes : 8 > 2. Donc 7,8 > 7,25.
Autre façon : 7,8 = 7,80 et 80 centièmes > 25 centièmes, donc 7,80 > 7,25.
Attention : ce n'est pas parce que 25 a plus de chiffres que 8 que 7,25 est plus grand !
Ranger dans l'ordre croissant : 12,3 ; 12,09 ; 11,99 ; 12,31.
On écrit tous les nombres avec deux chiffres après la virgule : 12,30 ; 12,09 ; 11,99 ; 12,31.
Ordre croissant : 11,99 < 12,09 < 12,3 < 12,31.
5. Encadrer, intercaler
Encadrer un nombre, c'est trouver un nombre plus petit et un nombre plus grand que lui. On peut encadrer à l'unité, au dixième, au centième...
Intercaler un nombre entre deux nombres, c'est trouver un nombre compris entre les deux.
Encadrer 4,637 :
- à l'unité : 4 < 4,637 < 5 ;
- au dixième : 4,6 < 4,637 < 4,7 ;
- au centième : 4,63 < 4,637 < 4,64.
Intercaler un nombre entre 2,5 et 2,6 : 2,5 = 2,50 et 2,6 = 2,60, donc 2,53 convient : 2,5 < 2,53 < 2,6.
Entre deux nombres décimaux différents, on peut toujours intercaler une infinité d'autres nombres décimaux.
6. Droite graduée
Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi :
- une origine : le point correspondant au nombre 0 ;
- une unité de longueur, reportée régulièrement ;
- un sens (généralement de gauche à droite).
Chaque point de la droite est repéré par un nombre appelé son abscisse. On note A(2,5) pour dire « le point A a pour abscisse 2,5 ».
- On repère la valeur d'une graduation principale (l'unité).
- On compte en combien de parts égales l'unité est partagée (par exemple 10 parts : chaque petite graduation vaut 0,1).
- On lit l'abscisse : entier + nombre de petites graduations × valeur d'une petite graduation.
Sur une droite graduée où l'unité est partagée en 4 parts égales, chaque part vaut 0,25. Un point placé 3 petites graduations après 2 a pour abscisse 2 + 3 × 0,25 = 2,75.
Sur une droite où l'unité est partagée en 10 parts, le point situé 7 graduations après 5 a pour abscisse 5,7.
Sur une droite graduée, les nombres sont rangés dans l'ordre croissant de gauche à droite : si un point est à gauche d'un autre, son abscisse est plus petite.
7. Valeurs approchées, arrondis
La troncature d'un nombre à un rang donné s'obtient en supprimant tous les chiffres situés après ce rang.
L'arrondi d'un nombre à un rang donné est la valeur la plus proche du nombre à ce rang : on regarde le chiffre qui suit le rang demandé ; s'il vaut 0, 1, 2, 3 ou 4, on tronque ; s'il vaut 5, 6, 7, 8 ou 9, on augmente de 1 le chiffre du rang demandé.
Soit le nombre 38,4762.
- Arrondi à l'unité : le chiffre des dixièmes est 4 (< 5), donc l'arrondi est 38.
- Arrondi au dixième : le chiffre des centièmes est 7 (≥ 5), donc l'arrondi est 38,5.
- Arrondi au centième : le chiffre des millièmes est 6, donc l'arrondi est 38,48.
- Troncature au centième : 38,47.
Arrondir 2,96 au dixième : le chiffre des centièmes est 6, on augmente le chiffre des dixièmes : 2,9 devient 3,0. L'arrondi est 3,0 c'est-à-dire 3.