Exercices corrigés — Droites et plans de l'espace (Terminale)

a) d a pour vecteur directeur u(2 ; 1 ; −1) et P pour vecteur normal n(1 ; 1 ; 2). Leur produit scalaire vaut 2 + 1 − 2 = 1 ≠ 0 : u n'est pas orthogonal à n, donc la droite n'est pas parallèle au plan. Elle le coupe en un unique point.
b) On remplace x, y, z par leurs expressions dans l'équation de P : (1 + 2t) + (−1 + t) + 2(2 − t) − 8 = 0, soit 1 + 2t − 1 + t + 4 − 2t − 8 = 0, c'est-à-dire t − 4 = 0, donc t = 4.
Le point d'intersection correspond à t = 4 : I(1 + 8 ; −1 + 4 ; 2 − 4) = I(9 ; 3 ; −2). Vérification dans P : 9 + 3 − 4 − 8 = 0.

d a pour vecteur directeur u(1 ; 1 ; −1) et P pour vecteur normal n(1 ; 2 ; 3). Produit scalaire : 1 + 2 − 3 = 0. Le vecteur directeur de d est orthogonal au vecteur normal de P : d est parallèle à P au sens large, c'est-à-dire soit incluse dans P, soit strictement parallèle.
Pour trancher, on teste un point de d : A(0 ; 1 ; 2), obtenu pour t = 0. Dans l'équation de P : 0 + 2 + 6 − 1 = 7 ≠ 0, donc A ∉ P. Une droite parallèle à un plan et ayant un point hors de ce plan n'a aucun point commun avec lui.
d est strictement parallèle à P. On peut le confirmer par substitution : t + 2(1 + t) + 3(2 − t) − 1 = 7 pour tout t, et l'équation 7 = 0 n'a pas de solution.