Droites et plans de l'espace — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 7 points à retenir et 3 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Positions relatives
Vocabulaire
- Deux droites de l'espace peuvent être sécantes, parallèles (éventuellement confondues) ou non coplanaires.
- Une droite et un plan peuvent être sécants, strictement parallèles ou la droite peut être incluse dans le plan. On parle parfois de parallélisme « au sens large » dans les deux derniers cas.
- Deux plans peuvent être sécants suivant une droite, parallèles ou confondus.
Attention : dans l'espace, deux droites sans point commun ne sont pas nécessairement parallèles.
Caractérisation vectorielle
- Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
- La direction d'une droite est parallèle à un plan si son vecteur directeur est combinaison linéaire de deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan. La droite est alors soit strictement parallèle, soit incluse ; tester l'appartenance d'un de ses points permet de trancher.
- Deux plans sont parallèles si deux directions non colinéaires de l'un peuvent être choisies parallèles à deux directions de l'autre.
2. Définir un plan
Trois façons usuelles
Un plan est déterminé de manière unique par :
- trois points non alignés ;
- un point et deux vecteurs non colinéaires ;
- un point et un vecteur normal non nul.
Représentation paramétrique d'un plan
Le plan passant par A et dirigé par deux vecteurs non colinéaires u et v est l'ensemble des points M tels que :
AM = su + tv, avec (s ; t) ∈ ℝ2.
3. Équation cartésienne d'un plan
Vecteur normal
Dans un repère orthonormé de l'espace : un vecteur non nul n est normal au plan P s'il est orthogonal à tous les vecteurs directeurs de P. Si n(a ; b ; c), alors P possède une équation cartésienne :
ax + by + cz + d = 0, avec (a ; b ; c) ≠ (0 ; 0 ; 0).
Réciproquement, dans un repère orthonormé, le plan d'équation ax + by + cz + d = 0 admet ( a ; b ; c ) comme vecteur normal.
4. Intersection de deux plans
Méthode géométrique
Si deux plans ont des vecteurs normaux non colinéaires, ils sont sécants suivant une droite. Pour paramétrer cette droite, résoudre simultanément leurs deux équations en choisissant l'une des inconnues comme paramètre.
6. Démontrer un parallélisme
Critères avec les vecteurs normaux
- Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
- Une droite de vecteur directeur u a une direction parallèle à un plan de vecteur normal n si et seulement si u · n = 0. C'est un parallélisme au sens large ; pour établir qu'il est strict, vérifier qu'un point de la droite n'appartient pas au plan.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Déterminer l'équation d'un plan
- Trouver un vecteur normal n(a ; b ; c).
- Écrire ax + by + cz + d = 0.
- Utiliser les coordonnées d'un point connu du plan pour déterminer d.
- Contrôler en remplaçant par un autre point si possible.
Méthode 2Méthode par substitution
Remplacer x, y, z dans l'équation du plan par les expressions paramétriques de la droite. On obtient une équation en son paramètre :
- une solution unique : droite sécante ;
- aucune solution : droite strictement parallèle au plan ;
- une identité vraie pour tout paramètre : droite incluse dans le plan.
Méthode 3Erreurs fréquentes
- Croire que (a ; b ; c) est un vecteur directeur du plan ax + by + cz + d = 0 : c'est un vecteur normal.
- Conclure que deux plans sont confondus dès que leurs vecteurs normaux sont colinéaires ; comparer aussi les constantes.
- Résoudre une intersection sans donner les coordonnées du point ou une représentation complète de la droite obtenue.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés