Exercices corrigés — Droites et plans de l'espace (Terminale)

a) Dans un repère orthonormé, le plan d'équation ax + by + cz + d = 0 admet le vecteur (a ; b ; c) comme vecteur normal : n(3 ; −2 ; 1) est normal à P.
b) Un point appartient à P si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation. Pour A : 3 × 1 − 2 × 0 + 2 − 5 = 0, donc A ∈ P. Pour B : 3 × 2 − 2 × 1 + 0 − 5 = −1 ≠ 0, donc B ∉ P.
c) Q est parallèle à P, donc admet le même vecteur normal n : son équation est de la forme 3x − 2y + z + d' = 0. Comme C ∈ Q : 0 − 2 + 1 + d' = 0, soit d' = 1. Une équation de Q est 3x − 2y + z + 1 = 0. Comme C ∉ P (0 − 2 + 1 − 5 ≠ 0), Q est strictement parallèle à P.

un plan de vecteur normal n(1 ; 3 ; −2) a une équation de la forme x + 3y − 2z + d = 0, où d reste à déterminer.
A appartient au plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation : 2 + 3 × (−1) − 2 × 0 + d = 0, soit −1 + d = 0 et d = 1.
Une équation du plan est x + 3y − 2z + 1 = 0. Vérification avec A : 2 − 3 − 0 + 1 = 0. Toute équation obtenue en multipliant celle-ci par un réel non nul, par exemple 2x + 6y − 4z + 2 = 0, décrit le même plan.