Exercices corrigés — Droites et plans de l'espace (Terminale)

a) AB = (−1 ; 2 ; 0) et AC = (−1 ; 0 ; 3). Leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles (la deuxième coordonnée de AC est nulle, celle de AB ne l'est pas) : les vecteurs ne sont pas colinéaires, les points ne sont pas alignés et définissent un plan.
b) Un vecteur n(a ; b ; c) est normal au plan s'il est orthogonal à AB et à AC : n · AB = −a + 2b = 0 et n · AC = −a + 3c = 0. Donc a = 2b et a = 3c. En choisissant a = 6, on obtient b = 3 et c = 2 : n(6 ; 3 ; 2) convient.
Le plan a une équation de la forme 6x + 3y + 2z + d = 0. Avec A : 6 + d = 0, donc d = −6. Une équation de (ABC) est 6x + 3y + 2z − 6 = 0.
Vérification avec B : 0 + 6 + 0 − 6 = 0 ; avec C : 0 + 0 + 6 − 6 = 0. En divisant par 6, on peut aussi écrire x1 + y2 + z3 = 1, forme qui fait apparaître les points d'intersection du plan avec les trois axes.

P a pour vecteur normal n(2 ; −1 ; 4) et Q a pour vecteur normal m(−4 ; 2 ; −8). On constate que m = −2n : les vecteurs normaux sont colinéaires, donc les plans sont parallèles. Reste à savoir s'ils sont confondus ou strictement parallèles.
Multiplions l'équation de P par −2 : −4x + 2y − 8z = −6. Le membre de gauche est celui de Q, mais le second membre vaut −6 et non 1. Un point de P vérifie −4x + 2y − 8z = −6, il ne peut donc pas vérifier −4x + 2y − 8z = 1 : les plans n'ont aucun point commun.
P et Q sont strictement parallèles. Autre vérification : le point (0 ; −3 ; 0) appartient à P (0 + 3 + 0 = 3) mais pas à Q (0 − 6 − 0 = −6 ≠ 1).