Exercices corrigés — Continuité et théorème des valeurs intermédiaires (Terminale)

à chaque étape, l'intervalle est coupé en deux et l'on ne garde que la moitié où se trouve la solution : l'amplitude est divisée par 2. Partant de 3 − 1 = 2, l'amplitude après n étapes vaut 22ⁿ.
On cherche le plus petit entier n tel que 22ⁿ ≤ 10⁻⁴, soit 2ⁿ ≥ 2 × 10⁴ = 20 000.
Or 2¹⁴ = 16 384 < 20 000 et 2¹⁵ = 32 768 ≥ 20 000. Il faut donc 15 étapes. Avec le logarithme : n ≥ ln(20 000)ln 2 ≈ 14,29, et le premier entier convenable est 15.
Après 15 étapes, l'amplitude vaut 232 768 ≈ 6,1 × 10⁻⁵, ce qui donne la solution à 10⁻⁴ près, et même un peu mieux.

a) On part de a = 0, b = 1, avec f(0) = −1 et f(1) = 1. La boucle tourne tant que b − a > 0,1.
Tour 1 : b − a = 1 ; m = 0,5 ; f(0,5) = 0,125 + 0,5 − 1 = −0,375. Le produit f(a) × f(m) = (−1)(−0,375) est positif : le changement de signe est dans la moitié droite, on pose a = 0,5.
Tour 2 : b − a = 0,5 ; m = 0,75 ; f(0,75) = 0,421875 + 0,75 − 1 = 0,171875. f(a) × f(m) < 0 : on pose b = 0,75.
Tour 3 : b − a = 0,25 ; m = 0,625 ; f(0,625) ≈ 0,2441 + 0,625 − 1 = −0,1309. Produit positif : a = 0,625.
Tour 4 : b − a = 0,125 > 0,1 ; m = 0,6875 ; f(0,6875) ≈ 0,3250 + 0,6875 − 1 = 0,0125 > 0. Produit négatif : b = 0,6875.
Alors b − a = 0,0625 ≤ 0,1 : la boucle s'arrête et la fonction renvoie le couple (0,625 ; 0,6875). La solution α ≈ 0,6823 est bien dans cet intervalle.
b) Quatre tours de boucle ont été effectués. L'amplitude initiale 1 a été divisée par 2⁴ = 16.