Exercices corrigés — Continuité et théorème des valeurs intermédiaires (Terminale)

a) g est dérivable sur ℝ et g'(x) = e^x + 1 > 0 car e^x > 0. Donc g est strictement croissante sur ℝ.
b) g est continue sur ℝ (somme de fonctions continues). En −∞, e^x → 0 et x → −∞, donc g(x) → −∞ ; en +∞, g(x) → +∞. Le réel 3 est compris entre ces limites. g étant continue et strictement croissante sur ℝ, le théorème de la bijection assure que l'équation g(x) = 3 admet une unique solution α dans ℝ.
c) g(0) = 1 < 3 et g(1) = e + 1 ≈ 3,72 > 3, donc α ∈ ]0 ; 1[. Par balayage au dixième : g(0,7) = e^0,7 + 0,7 ≈ 2,014 + 0,7 = 2,714 < 3 et g(0,8) = e^0,8 + 0,8 ≈ 2,226 + 0,8 = 3,026 > 3.
Comme g est croissante, α ∈ ]0,7 ; 0,8[. L'équation e^x + x = 3 n'a pas de solution exprimable avec les fonctions usuelles : l'encadrement est la réponse attendue.

sur ]−∞ ; 2[, f coïncide avec une fonction polynôme, donc elle y est continue ; sur ]2 ; +∞[, elle coïncide avec une fonction affine, donc elle y est continue aussi. Le seul point à examiner est x = 2.
f(2) = 2m − 5 (c'est la seconde expression qui s'applique en 2, puisque 2 ≥ 2). Limite à droite : f(x) = mx − 5 → 2m − 5 = f(2), donc f est toujours continue à droite en 2. Limite à gauche : f(x) = x² − 1 → 4 − 1 = 3.
f est continue en 2 si et seulement si la limite à gauche est égale à f(2) : 3 = 2m − 5, soit m = 4.
Conclusion : f est continue sur ℝ si et seulement si m = 4. La courbe est alors formée d'un arc de parabole et d'une demi-droite qui se rejoignent au point (2 ; 3), sans saut. Pour toute autre valeur de m, la courbe présente un saut en 2.