Terminale · Fiche de révision

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires — fiche résumé

L'essentiel du chapitre en une page : 8 points à retenir et 4 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.

À retenir

1. Continuité en un point et sur un intervalle

Définition

Une fonction f est continue en a si lim_xa f(x) = f(a). Elle est continue sur un intervalle si elle est continue en chacun de ses points, avec des limites unilatérales aux extrémités.

Fonctions usuelles et opérations

Les fonctions polynomiales, exponentielle, sinus et cosinus sont continues sur ℝ. Les fonctions rationnelles sont continues là où leur dénominateur ne s'annule pas. La racine carrée est continue sur [0 ; +∞[ et le logarithme sur ]0 ; +∞[. Somme, produit, quotient lorsque le dénominateur ne s'annule pas, et composée de fonctions continues sont continus.

Dérivabilité et continuité

Toute fonction dérivable en a est continue en a. La réciproque est fausse : x ↦ |x| est continue en 0 mais non dérivable en 0.

2. Théorème des valeurs intermédiaires

TVI

Si f est continue sur [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c ∈ [a ; b] tel que f(c) = k.

Interprétation

La courbe d'une fonction continue se trace « sans lever le crayon » : entre deux hauteurs atteintes, toutes les hauteurs intermédiaires sont atteintes. Le TVI donne l'existence, pas l'unicité.

Corollaire du changement de signe

Si f est continue sur [a ; b] et si f(a)f(b) ≤ 0, alors l'équation f(x) = 0 possède au moins une solution dans [a ; b].

3. Unicité et bijection

Théorème de la bijection

Si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], alors, pour tout k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une unique solution dans [a ; b]. Le résultat s'étend aux intervalles ouverts ou non bornés en utilisant les limites aux bornes.

5. Prolongement par continuité (approfondissement)

Définitionapprofondissement

Si f n'est pas définie en a mais possède une limite finie ℓ en a, on peut définir f(a) = ℓ. La nouvelle fonction ainsi obtenue est le prolongement par continuité de f en a.

Les méthodes

Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.

Méthode 1Justification

Si f est dérivable en a, le quotient [f(x) − f(a)]/(x − a) tend vers f'(a). On écrit :

f(x) − f(a) = (x − a) × [f(x) − f(a)]/(x − a).

Le premier facteur tend vers 0 et le second vers un réel, donc la différence tend vers 0 : f(x) → f(a).

Méthode 2type d'une preuve d'unicité

Justifier que f est continue sur l'intervalle.
Étudier le signe de f' pour établir la stricte monotonie.
Calculer les valeurs ou limites aux bornes.
Vérifier que la valeur cherchée est comprise entre elles.
Conclure avec le théorème de la bijection.

Méthode 3Algorithme

Si f est continue, strictement monotone et change de signe sur [a ; b], on coupe l'intervalle en deux. On conserve la moitié où le changement de signe se produit. Après n étapes, la longueur vaut b − a2ⁿ.

def dichotomie(f, a, b, precision):
    while b - a > precision:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return (a, b)

Méthode 4Erreurs fréquentes

Appliquer le TVI sans vérifier la continuité sur tout l'intervalle.
Affirmer l'unicité avec le seul TVI : il faut en plus une stricte monotonie ou un autre argument.
Confondre f(a) et la limite de f en a.
En dichotomie, choisir une moitié sans contrôler le changement de signe.

Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés