Q: Si f est continue sur [a ; b] et si f(a) × f(b) < 0, alors l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans [a ; b].

Vrai. f(a) et f(b) sont de signes contraires, donc 0 est une valeur intermédiaire : le TVI donne au moins une solution.

Q: La fonction f définie par f(x) = 2x − 6 est continue et strictement croissante sur ℝ. Quelle est l'unique solution de f(x) = 0 ?

3. 2x − 6 = 0 donne x = 3, et la stricte monotonie assure l'unicité.

Q: Sur [0 ; +∞[, la fonction carré est continue et strictement croissante. Quelle est l'unique solution de x² = 49 ?

7. Sur les réels positifs, x² = 49 équivaut à x = √49 = 7.

Q: La fonction cube est continue et strictement croissante sur ℝ. Combien l'équation x³ = 8 admet-elle de solutions réelles ?

1. La stricte croissance sur ℝ donne une solution unique, à savoir x = 2.

Question 1

Le théorème des valeurs intermédiaires s'applique à une fonction qui est :

Accepted Answer

continue sur un intervalle. L'hypothèse essentielle du TVI est la continuité de f sur l'intervalle considéré.

Question 2

f est continue et strictement croissante sur [0 ; 3], avec f(0) = −2 et f(3) = 5. Combien l'équation f(x) = 0 admet-elle de solutions dans [0 ; 3] ?

Accepted Answer

Exactement une. 0 est compris entre −2 et 5 et f est continue et strictement monotone : la solution existe et elle est unique.

Question 3

Quelle affirmation est correcte pour une fonction dérivable sur un intervalle I ?

Accepted Answer

Elle est continue sur I. Toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue ; la réciproque est fausse.

Question 4

La fonction partie entière est :

Accepted Answer

discontinue en chaque entier. Elle fait un saut d'une unité en chaque entier, donc elle n'y est pas continue.

Question 5

Quel est l'intérêt de la méthode de dichotomie ?

Accepted Answer

Encadrer une solution avec la précision voulue. En coupant l'intervalle en deux à chaque étape, on resserre l'encadrement de la solution autant qu'on veut.

Question 6

Une fonction continue sur ℝ est nécessairement dérivable sur ℝ.

Accepted Answer

Faux. La fonction valeur absolue est continue sur ℝ mais n'est pas dérivable en 0.

Question 7

Si f est continue sur [a ; b] et si f(a) × f(b) < 0, alors l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans [a ; b].

Accepted Answer