Continuité et théorème des valeurs intermédiaires — cours de Terminale
Continuité en un point et sur un intervalle, Théorème des valeurs intermédiaires, Unicité et bijection, Dichotomie Lecture ≈ 4 min.
1. Continuité en un point et sur un intervalle
Une fonction f est continue en a si limxa f(x) = f(a). Elle est continue sur un intervalle si elle est continue en chacun de ses points, avec des limites unilatérales aux extrémités.
Les fonctions polynomiales, exponentielle, sinus et cosinus sont continues sur ℝ. Les fonctions rationnelles sont continues là où leur dénominateur ne s'annule pas. La racine carrée est continue sur [0 ; +∞[ et le logarithme sur ]0 ; +∞[. Somme, produit, quotient lorsque le dénominateur ne s'annule pas, et composée de fonctions continues sont continus.
Toute fonction dérivable en a est continue en a. La réciproque est fausse : x ↦ |x| est continue en 0 mais non dérivable en 0.
Si f est dérivable en a, le quotient [f(x) − f(a)]/(x − a) tend vers f'(a). On écrit :
f(x) − f(a) = (x − a) × [f(x) − f(a)]/(x − a).
Le premier facteur tend vers 0 et le second vers un réel, donc la différence tend vers 0 : f(x) → f(a).
2. Théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c ∈ [a ; b] tel que f(c) = k.
La courbe d'une fonction continue se trace « sans lever le crayon » : entre deux hauteurs atteintes, toutes les hauteurs intermédiaires sont atteintes. Le TVI donne l'existence, pas l'unicité.
Si f est continue sur [a ; b] et si f(a)f(b) ≤ 0, alors l'équation f(x) = 0 possède au moins une solution dans [a ; b].
f(x) = x3 + x − 1 est continue sur [0 ; 1]. f(0) = −1 et f(1) = 1. Comme 0 est compris entre ces images, le TVI assure l'existence d'une solution de f(x) = 0 dans ]0 ; 1[.
3. Unicité et bijection
Si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], alors, pour tout k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une unique solution dans [a ; b]. Le résultat s'étend aux intervalles ouverts ou non bornés en utilisant les limites aux bornes.
- Justifier que f est continue sur l'intervalle.
- Étudier le signe de f' pour établir la stricte monotonie.
- Calculer les valeurs ou limites aux bornes.
- Vérifier que la valeur cherchée est comprise entre elles.
- Conclure avec le théorème de la bijection.
Pour f(x) = x3 + x − 1, f'(x) = 3x2 + 1 > 0. La fonction est strictement croissante sur ℝ, continue car polynomiale, et ses limites sont −∞ et +∞. L'équation f(x) = 0 possède donc une unique solution réelle α. Comme f(0) < 0 et f(1) > 0, α ∈ ]0 ; 1[.
4. Dichotomie
Si f est continue, strictement monotone et change de signe sur [a ; b], on coupe l'intervalle en deux. On conserve la moitié où le changement de signe se produit. Après n étapes, la longueur vaut b − a2n.
def dichotomie(f, a, b, precision):
while b - a > precision:
m = (a + b) / 2
if f(a) * f(m) <= 0:
b = m
else:
a = m
return (a, b)Pour x3 + x − 1 = 0, on sait α ∈ [0 ; 1]. Au milieu 0,5, f(0,5) = −0,375 : on garde [0,5 ; 1]. Au milieu 0,75, f(0,75) = 0,171875 : on garde [0,5 ; 0,75]. Au milieu 0,625, f(0,625) ≈ −0,1309 : on garde [0,625 ; 0,75]. La procédure se poursuit jusqu'à la précision voulue ; α ≈ 0,6823.
5. Prolongement par continuité (approfondissement)
Si f n'est pas définie en a mais possède une limite finie ℓ en a, on peut définir f(a) = ℓ. La nouvelle fonction ainsi obtenue est le prolongement par continuité de f en a.
f(x) = ex − 1x pour x ≠ 0. La limite en 0 vaut 1. En posant f(0) = 1, on prolonge f par continuité sur ℝ.
- Appliquer le TVI sans vérifier la continuité sur tout l'intervalle.
- Affirmer l'unicité avec le seul TVI : il faut en plus une stricte monotonie ou un autre argument.
- Confondre f(a) et la limite de f en a.
- En dichotomie, choisir une moitié sans contrôler le changement de signe.