Exercices corrigés — Variations, extremums et optimisation (Première)

f est dérivable sur ℝ (fonction polynôme) et f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3). Le trinôme x² − 4x + 3 a pour racines 1 et 3 (somme 4, produit 3), donc f'(x) = 3(x − 1)(x − 3).
Signe : le trinôme est du signe de son coefficient dominant (positif) à l'extérieur des racines et négatif entre elles. f' > 0 sur ]−∞ ; 1[ et sur ]3 ; +∞[, f' < 0 sur ]1 ; 3[, f'(1) = f'(3) = 0.
Variations : f est croissante sur ]−∞ ; 1], décroissante sur [1 ; 3], puis croissante sur [3 ; +∞[. Valeurs : f(1) = 1 − 6 + 9 + 2 = 6 (maximum local) et f(3) = 27 − 54 + 27 + 2 = 2 (minimum local).
Ces extremums sont locaux et non globaux : f(x) prend des valeurs supérieures à 6 pour x grand (par exemple f(5) = 125 − 150 + 45 + 2 = 22) et inférieures à 2 pour x très négatif.

f'(x) = −2x + 4, qui s'annule pour x = 2, est positive sur [0 ; 2[ et négative sur ]2 ; 5]. Donc f est croissante sur [0 ; 2] et décroissante sur [2 ; 5].
Valeurs : f(0) = 1 ; f(2) = −4 + 8 + 1 = 5 ; f(5) = −25 + 20 + 1 = −4.
Le maximum de f sur [0 ; 5] est 5, atteint en x = 2, là où la dérivée s'annule en changeant de signe. Le minimum est −4, atteint en x = 5, c'est-à-dire à une borne de l'intervalle, sans que la dérivée s'y annule.
Sur un intervalle fermé, il faut toujours comparer les valeurs aux points où f' s'annule avec les valeurs aux deux bornes : ici f(5) = −4 < f(0) = 1, c'est la borne droite qui donne le minimum. Le tableau de variations rend cette comparaison immédiate.