Question 1

Si f′(x) > 0 sur un intervalle I, alors sur I la fonction f est :

Accepted Answer

strictement croissante. Une dérivée strictement positive sur un intervalle entraîne la stricte croissance de f sur cet intervalle.

Question 2

Soit f(x) = x² − 6x + 5. Pour quelle valeur de x la fonction atteint-elle son minimum ?

Accepted Answer

x = 3. f′(x) = 2x − 6 s'annule en x = 3 en changeant de signe de − à +, c'est donc un minimum.

Question 3

Soit f(x) = x³ − 3x. En quelles valeurs f′ s'annule-t-elle ?

Accepted Answer

x = −1 et x = 1. f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1), qui s'annule en −1 et en 1.

Question 4

Une boîte a un volume V(x) = x(10 − 2x)² pour x ∈ ]0 ; 5[. Que faut-il faire pour trouver le volume maximal ?

Accepted Answer

Étudier le signe de V′(x). Le maximum d'une fonction dérivable s'obtient en repérant où V′ change de signe de + à −.

Question 5

Le tableau de variations de f montre f croissante sur ]−∞ ; 2] puis décroissante sur [2 ; +∞[. Que peut-on dire de f(2) ?

Accepted Answer

C'est le maximum de f sur ℝ. Une croissance puis une décroissance encadrent un maximum atteint au point de changement.

Question 6

Si f′(a) = 0, alors f admet nécessairement un extremum en a.

Accepted Answer

Faux. Pour f(x) = x³, f′(0) = 0 mais f est strictement croissante : il faut un changement de signe de f′.

Question 7

Une fonction dérivable dont la dérivée est nulle sur un intervalle y est constante.

Accepted Answer

Vrai. Une dérivée identiquement nulle sur un intervalle caractérise une fonction constante sur cet intervalle.

Question 8

Soit f(x) = x² − 8x + 3. En quelle valeur de x la dérivée s'annule-t-elle ?

Accepted Answer

4. f′(x) = 2x − 8 s'annule pour x = 4.

Question 9

Soit f(x) = −2x² + 12x − 7. Quelle est la valeur du maximum de f sur ℝ ?

Accepted Answer

11. f′(x) = −4x + 12 s'annule en x = 3 et f(3) = −18 + 36 − 7 = 11.

Question 10

Un rectangle a un périmètre de 20 cm. Quelle est son aire maximale, en cm² ?

Accepted Answer

25. Avec les côtés x et 10 − x, l'aire A(x) = 10x − x² est maximale en x = 5, d'où A = 25 cm².

Quiz — Variations, extremums et optimisation (Première)

Si f′(x) > 0 sur un intervalle I, alors sur I la fonction f est :