Variations, extremums et optimisation — cours de Première
Lien entre signe de la dérivée et variations, Extremums, Dérivée et comparaison de fonctions, Fonctions paires, impaires et symétries Lecture ≈ 6 min.
1. Lien entre signe de la dérivée et variations
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
- Si f'(x) ≥ 0 pour tout x de I, alors f est croissante sur I.
- Si f'(x) ≤ 0 pour tout x de I, alors f est décroissante sur I.
- Si f' est nulle partout sur I, alors f est constante sur I.
Si les inégalités sont strictes, la monotonie est stricte. Il suffit aussi que la dérivée soit strictement positive ou négative sauf en quelques points isolés.
Ce résultat est admis en Première. Son sens géométrique est naturel : une pente positive fait monter la courbe quand on va vers la droite, une pente négative la fait descendre. La preuve rigoureuse générale utilise un théorème d'analyse étudié ultérieurement.
- Déterminer l'ensemble de définition et les intervalles d'étude.
- Calculer f'(x) et la factoriser si possible.
- Étudier le signe de f' avec un tableau de signes.
- En déduire les variations de f.
- Calculer exactement les valeurs aux bornes et aux points où la dérivée s'annule.
Étudier f(x) = x3 − 3x2 − 9x + 5 sur ℝ.
- f'(x) = 3x2 − 6x − 9 = 3(x2 − 2x − 3) = 3(x + 1)(x − 3).
- La dérivée est positive sur ]−∞ ; −1] et [3 ; +∞[, négative sur [−1 ; 3].
- f croît jusqu'à −1, décroît de −1 à 3, puis croît.
- f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10 ; f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22.
| x | ]−∞ ; −1[ | −1 | ]−1 ; 3[ | 3 | ]3 ; +∞[ |
|---|---|---|---|---|---|
| signe de f' | + | 0 | − | 0 | + |
| variation de f | croît | maximum local 10 | décroît | minimum local −22 | croît |
2. Extremums
Un réel M est le maximum de f sur I si f(x) ≤ M pour tout x ∈ I et si M est atteint. Un minimum se définit de façon analogue. Un extremum local compare seulement les valeurs proches du point ; un extremum global compare toutes les valeurs sur I.
Si f est dérivable en un point intérieur a et possède en a un extremum local, alors f'(a) = 0. La réciproque est fausse : pour f(x) = x3, f'(0) = 0 mais f reste croissante et n'a pas d'extremum en 0.
- Si f' passe de + à − en a, f admet un maximum local en a.
- Si f' passe de − à + en a, f admet un minimum local en a.
- Sans changement de signe, l'annulation de f' ne suffit pas.
3. Dérivée et comparaison de fonctions
Pour comparer f et g sur un intervalle, on étudie souvent h = f − g. Le signe de h indique la position relative des courbes. Si ce signe est difficile, on étudie les variations de h grâce à h' = f' − g'.
Montrer que ex ≥ x + 1 pour tout réel x, en admettant les propriétés de l'exponentielle.
Posons h(x) = ex − x − 1. Alors h'(x) = ex − 1. Cette dérivée est négative si x < 0, nulle en 0 et positive si x > 0. Ainsi h admet un minimum en 0. Or h(0) = 1 − 0 − 1 = 0. Donc h(x) ≥ 0, soit ex ≥ x + 1.
4. Fonctions paires, impaires et symétries
Soit f définie sur un ensemble D symétrique par rapport à 0.
- f est paire si, pour tout x ∈ D, f(−x) = f(x).
- f est impaire si, pour tout x ∈ D, f(−x) = −f(x).
La courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère. Une fonction peut n'être ni paire ni impaire.
f(x) = x4 − 3x2 + 1 vérifie f(−x) = x4 − 3x2 + 1 = f(x) : elle est paire. La fonction g(x) = x3 − 2x vérifie g(−x) = −x3 + 2x = −g(x) : elle est impaire.
5. Optimisation sous contraintes
- Choisir une variable et traduire toutes les contraintes ; préciser son intervalle possible.
- Exprimer la grandeur à optimiser comme une fonction d'une seule variable.
- Étudier la dérivée et les variations sur l'intervalle utile.
- Comparer les valeurs aux points critiques et aux bornes.
- Répondre avec l'unité et vérifier la cohérence concrète.
On découpe dans les quatre coins d'une plaque carrée de 30 cm de côté des carrés de côté x, puis on replie pour former une boîte sans couvercle. Quel x maximise le volume ?
- Il faut 0 < x < 15. La hauteur vaut x et la base a pour côté 30 − 2x.
- V(x) = x(30 − 2x)2 = 4x3 − 120x2 + 900x.
- V'(x) = 12x2 − 240x + 900 = 12(x2 − 20x + 75) = 12(x − 5)(x − 15).
- Sur ]0 ; 5[, V' > 0 ; sur ]5 ; 15[, V' < 0. Le volume est maximal pour x = 5.
- V(5) = 5 × 202 = 2 000 cm3.
Un point M de la parabole y = x2 a pour abscisse x. On cherche le point le plus proche de A(0 ; 3). Il est plus simple de minimiser le carré de la distance :
D(x) = AM2 = x2 + (x2 − 3)2 = x4 − 5x2 + 9.
D'(x) = 4x3 − 10x = 2x(2x2 − 5). Les points critiques sont 0 et ±√52. L'étude de signe montre que les minima sont atteints pour x = ±√52. On minimise D plutôt que AM car la fonction carré est croissante sur [0 ; +∞[.
6. Résolution approchée et calculatrice
Un tableau de valeurs permet de repérer un changement de signe de f(x) − k. Sur un intervalle où f est strictement monotone, l'équation f(x) = k a au plus une solution. On peut alors resserrer un encadrement par balayage ou dichotomie. L'existence précise d'une solution sous certaines hypothèses sera formalisée plus tard ; en Première, le graphique et le contexte guident la conjecture.
Pour résoudre x3 + x = 3, posons f(x) = x3 + x − 3. Comme f'(x) = 3x2 + 1 > 0, f est strictement croissante et il y a au plus une solution. Or f(1) = −1 et f(1,3) = 0,497 ; une solution est repérée entre 1 et 1,3. Un balayage donne environ 1,213.
7. Erreurs fréquentes
- Donner les variations d'après le signe de f au lieu du signe de f'.
- Oublier les valeurs exclues de l'ensemble de définition dans le tableau.
- Dire « f'(a) = 0 donc il y a un extremum » sans vérifier le changement de signe.
- N'étudier que les points où la dérivée s'annule, sans comparer les bornes d'un intervalle fermé.
- Arrondir trop tôt dans une optimisation et perdre la valeur exacte.
- Conclure par une abscisse alors que la question demande la valeur maximale, ou inversement.