Variations, extremums et optimisation — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 6 points à retenir et 6 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Lien entre signe de la dérivée et variations
Théorème fondamental
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
- Si f'(x) ≥ 0 pour tout x de I, alors f est croissante sur I.
- Si f'(x) ≤ 0 pour tout x de I, alors f est décroissante sur I.
- Si f' est nulle partout sur I, alors f est constante sur I.
Si les inégalités sont strictes, la monotonie est stricte. Il suffit aussi que la dérivée soit strictement positive ou négative sauf en quelques points isolés.
Remarque sur la démonstration
Ce résultat est admis en Première. Son sens géométrique est naturel : une pente positive fait monter la courbe quand on va vers la droite, une pente négative la fait descendre. La preuve rigoureuse générale utilise un théorème d'analyse étudié ultérieurement.
2. Extremums
Définitions
Un réel M est le maximum de f sur I si f(x) ≤ M pour tout x ∈ I et si M est atteint. Un minimum se définit de façon analogue. Un extremum local compare seulement les valeurs proches du point ; un extremum global compare toutes les valeurs sur I.
Condition nécessaire, non suffisante
Si f est dérivable en un point intérieur a et possède en a un extremum local, alors f'(a) = 0. La réciproque est fausse : pour f(x) = x3, f'(0) = 0 mais f reste croissante et n'a pas d'extremum en 0.
4. Fonctions paires, impaires et symétries
Définitions
Soit f définie sur un ensemble D symétrique par rapport à 0.
- f est paire si, pour tout x ∈ D, f(−x) = f(x).
- f est impaire si, pour tout x ∈ D, f(−x) = −f(x).
Interprétation graphique
La courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère. Une fonction peut n'être ni paire ni impaire.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Méthode complète d'étude
- Déterminer l'ensemble de définition et les intervalles d'étude.
- Calculer f'(x) et la factoriser si possible.
- Étudier le signe de f' avec un tableau de signes.
- En déduire les variations de f.
- Calculer exactement les valeurs aux bornes et aux points où la dérivée s'annule.
Méthode 2Reconnaître un extremum par changement de signe
- Si f' passe de + à − en a, f admet un maximum local en a.
- Si f' passe de − à + en a, f admet un minimum local en a.
- Sans changement de signe, l'annulation de f' ne suffit pas.
Méthode 3
Pour comparer f et g sur un intervalle, on étudie souvent h = f − g. Le signe de h indique la position relative des courbes. Si ce signe est difficile, on étudie les variations de h grâce à h' = f' − g'.
Méthode 4Schéma de résolution
- Choisir une variable et traduire toutes les contraintes ; préciser son intervalle possible.
- Exprimer la grandeur à optimiser comme une fonction d'une seule variable.
- Étudier la dérivée et les variations sur l'intervalle utile.
- Comparer les valeurs aux points critiques et aux bornes.
- Répondre avec l'unité et vérifier la cohérence concrète.
Méthode 5Encadrer une solution
Un tableau de valeurs permet de repérer un changement de signe de f(x) − k. Sur un intervalle où f est strictement monotone, l'équation f(x) = k a au plus une solution. On peut alors resserrer un encadrement par balayage ou dichotomie. L'existence précise d'une solution sous certaines hypothèses sera formalisée plus tard ; en Première, le graphique et le contexte guident la conjecture.
Méthode 6À éviter
- Donner les variations d'après le signe de f au lieu du signe de f'.
- Oublier les valeurs exclues de l'ensemble de définition dans le tableau.
- Dire « f'(a) = 0 donc il y a un extremum » sans vérifier le changement de signe.
- N'étudier que les points où la dérivée s'annule, sans comparer les bornes d'un intervalle fermé.
- Arrondir trop tôt dans une optimisation et perdre la valeur exacte.
- Conclure par une abscisse alors que la question demande la valeur maximale, ou inversement.
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