Exercices corrigés — Variations, extremums et optimisation (Première)

g est dérivable sur ]0 ; +∞[ et g'(x) = 1 − 4x². On réduit au même dénominateur pour étudier le signe : g'(x) = x² − 4x² = (x − 2)x + 2x².
Sur ]0 ; +∞[, x² > 0 et x + 2 > 0 : g'(x) est du signe de x − 2. Elle est négative sur ]0 ; 2[, nulle en 2, positive sur ]2 ; +∞[.
g est donc décroissante sur ]0 ; 2] et croissante sur [2 ; +∞[. Son minimum sur ]0 ; +∞[ est g(2) = 2 + 42 = 4.
Conséquence : pour tout x > 0, x + 4x ≥ 4. Aux bornes, g(x) devient très grand quand x se rapproche de 0 (à cause de 4x) et quand x devient grand (à cause de x) : la courbe a la forme d'un « U » dissymétrique, de sommet (2 ; 4).

ℝ est symétrique par rapport à 0 : on peut comparer f(−x) et f(x) pour tout réel x.
f(−x) = (−x)²/((−x)² + 1) = x²x² + 1 = f(x) : f est paire. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; il suffit de l'étudier sur [0 ; +∞[.
g(−x) = (−x)³ − (−x) = −x³ + x = −(x³ − x) = −g(x) : g est impaire. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.
h(−x) = x² − x. Pour x = 1 : h(−1) = 0, h(1) = 2 et −h(1) = −2. Comme h(−1) est différent de h(1) et de −h(1), h n'est ni paire ni impaire : un seul contre-exemple suffit. Sa courbe, une parabole d'axe x = −12, n'a aucune des deux symétries par rapport aux axes du repère.