Proportionnalité — cours de 6e
Reconnaître une situation de proportionnalité, Compléter un tableau de proportionnalité, Pourcentages, Échelles Lecture ≈ 4 min.
1. Reconnaître une situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l'on peut passer des valeurs de l'une aux valeurs de l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité.
Un kilogramme de pommes coûte 2,50 €. Le prix est proportionnel à la masse : 2 kg coûtent 5 €, 3 kg coûtent 7,50 €, 10 kg coûtent 25 €. Le coefficient de proportionnalité est 2,50 (le prix d'un kilogramme).
| Masse (kg) | 1 | 2 | 3 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 2,50 | 5 | 7,50 | 25 |
L'âge d'une personne et sa taille ne sont pas proportionnels : à 2 ans on mesure environ 85 cm, mais à 20 ans on ne mesure pas 850 cm !
Un abonnement de 10 € par mois plus 0,50 € par appel : 10 appels coûtent 15 €, 20 appels coûtent 20 € (et non 30 €). Ce n'est pas une proportionnalité à cause de la partie fixe.
On calcule les quotients (valeur de la 2e ligne) ÷ (valeur de la 1re ligne) pour chaque colonne. Si tous les quotients sont égaux, c'est un tableau de proportionnalité et ce quotient commun est le coefficient.
| Nombre de cahiers | 3 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 4,50 | 7,50 | 12 |
4,50 ÷ 3 = 1,5 ; 7,50 ÷ 5 = 1,5 ; 12 ÷ 8 = 1,5. Tous les quotients sont égaux à 1,5 : c'est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,5 (prix d'un cahier).
2. Compléter un tableau de proportionnalité
- Utiliser le coefficient de proportionnalité : on multiplie chaque valeur de la première ligne par le coefficient (ou on divise chaque valeur de la deuxième ligne par le coefficient).
- Passage à l'unité : on calcule la valeur correspondant à 1, puis on multiplie.
- Propriété additive : si on connaît les valeurs pour 2 et pour 5, on obtient la valeur pour 7 = 2 + 5 en additionnant.
- Propriété multiplicative : si on connaît la valeur pour 4, on obtient la valeur pour 12 = 4 × 3 en multipliant par 3 ; pour 2 = 4 ÷ 2 en divisant par 2.
Une voiture consomme 6 L d'essence pour 100 km. Combien consomme-t-elle pour 250 km ? pour 30 km ?
| Distance (km) | 100 | 50 | 250 | 10 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|
| Essence (L) | 6 | 3 | 15 | 0,6 | 1,8 |
- Pour 50 km (100 ÷ 2) : 6 ÷ 2 = 3 L. Pour 250 km (200 + 50) : 12 + 3 = 15 L.
- Pour 10 km (100 ÷ 10) : 0,6 L. Pour 30 km (10 × 3) : 1,8 L.
- Avec le coefficient : 6 ÷ 100 = 0,06 L par km ; 250 × 0,06 = 15 L.
5 baguettes coûtent 5,50 €. Combien coûtent 8 baguettes ?
Une baguette coûte 5,50 ÷ 5 = 1,10 €. Huit baguettes coûtent 8 × 1,10 = 8,80 €.
3. Pourcentages
Un pourcentage est une manière d'exprimer une proportion en la ramenant à 100. « t % » signifie « t pour cent », c'est-à-dire t100.
Calculer t % d'une quantité, c'est prendre la fraction t100 de cette quantité : multiplier par t puis diviser par 100 (ou multiplier par t100).
- 50 % d'une quantité = la moitié (diviser par 2).
- 25 % = le quart (diviser par 4).
- 10 % = le dixième (diviser par 10).
- 100 % = la totalité.
- 75 % = les trois quarts.
Calculer 30 % de 250 € : 250 × 30 ÷ 100 = 7 500 ÷ 100 = 75 €.
Autre méthode : 10 % de 250 € = 25 €, donc 30 % = 3 × 25 = 75 €.
Dans un collège de 600 élèves, 45 % sont des filles. Combien y a-t-il de filles ?
600 × 45 ÷ 100 = 270. Il y a 270 filles (et 330 garçons).
Un article coûte 80 € et est soldé à 20 %. La remise est 80 × 20 ÷ 100 = 16 €. Le nouveau prix est 80 − 16 = 64 €.
4. Échelles
Sur un plan ou une carte, les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles. L'échelle indique le coefficient : une échelle de 11 000 (ou « 1 : 1 000 ») signifie que 1 cm sur le plan représente 1 000 cm dans la réalité, c'est-à-dire 10 m.
Échelle = (longueur sur le plan) ÷ (longueur réelle), les deux longueurs étant exprimées dans la même unité.
Sur une carte à l'échelle 150 000, deux villages sont distants de 7 cm. Quelle est la distance réelle ?
7 × 50 000 = 350 000 cm = 3 500 m = 3,5 km.
Un terrain rectangulaire de 60 m de long est représenté sur un plan par un rectangle de 12 cm de long. Quelle est l'échelle du plan ?
60 m = 6 000 cm. Échelle : 126 000 = 1500. Sur le plan, 1 cm représente 500 cm = 5 m.