Grandeurs et mesures : longueurs, masses, durées, périmètres — cours de 6e
Les longueurs, Les masses, Les durées, Périmètre d'un polygone Lecture ≈ 6 min.
1. Les longueurs
L'unité de longueur du système international est le mètre (m). Les autres unités usuelles sont ses multiples et sous-multiples :
| km | hm | dam | m | dm | cm | mm |
|---|---|---|---|---|---|---|
| kilomètre | hectomètre | décamètre | mètre | décimètre | centimètre | millimètre |
| 1 000 m | 100 m | 10 m | 1 m | 0,1 m | 0,01 m | 0,001 m |
Chaque unité est 10 fois plus grande que celle qui la suit à droite : 1 km = 10 hm = 100 dam = 1 000 m ; 1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm.
- On écrit le nombre dans le tableau en plaçant le chiffre des unités dans la colonne de l'unité donnée (un chiffre par colonne).
- On complète avec des zéros jusqu'à la colonne de l'unité demandée.
- On lit le nombre en plaçant la virgule à droite de la colonne de la nouvelle unité.
| km | hm | dam | m | dm | cm | mm |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 0 | |||
| 0 | 0 | 7 | 2 | ,5 |
3,45 m = 345 cm = 3 450 mm = 34,5 dm = 0,00345 km.
72,5 m = 7,25 dam = 0,725 hm = 0,0725 km = 725 dm.
Passer d'une unité à une unité plus petite : on multiplie. 2,8 km = 2,8 × 1 000 m = 2 800 m.
Passer d'une unité à une unité plus grande : on divise. 560 mm = 560 ÷ 10 cm = 56 cm = 5,6 dm = 0,56 m.
2. Les masses
L'unité de masse est le gramme (g). Le tableau de conversion fonctionne comme celui des longueurs. Pour les grandes masses, on utilise la tonne : 1 t = 1 000 kg.
| t | kg | hg | dag | g | dg | cg | mg | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| tonne | quintal (q) | kilogramme | hectogramme | décagramme | gramme | décigramme | centigramme | milligramme |
1 kg = 1 000 g ; 1 t = 1 000 kg = 1 000 000 g ; 1 g = 1 000 mg.
2,5 kg = 2 500 g ; 750 g = 0,75 kg ; 3,2 t = 3 200 kg ; 45 mg = 0,045 g.
Un camion vide pèse 3,5 t. Il transporte 40 sacs de 25 kg. Quelle est sa masse totale en tonnes ?
Chargement : 40 × 25 = 1 000 kg = 1 t. Masse totale : 3,5 + 1 = 4,5 t.
3. Les durées
Les unités de durée ne fonctionnent pas en base 10 :
- 1 minute (min) = 60 secondes (s) ;
- 1 heure (h) = 60 min = 3 600 s ;
- 1 jour = 24 h ;
- 1 semaine = 7 jours ; 1 année = 365 jours (366 les années bissextiles) = 12 mois.
Attention : 1,5 h = 1 h 30 min (et non 1 h 50 min) ; 0,25 h = 15 min.
- Pour convertir en secondes : 2 h 15 min 20 s = 2 × 3 600 + 15 × 60 + 20 = 7 200 + 900 + 20 = 8 120 s.
- Pour convertir des secondes en h min s : 5 000 s. On divise par 60 : 5 000 = 60 × 83 + 20, donc 83 min 20 s. Puis 83 = 60 × 1 + 23, donc 1 h 23 min 20 s.
Un train part à 9 h 47 et arrive à 13 h 12. Quelle est la durée du trajet ?
De 9 h 47 à 10 h : 13 min. De 10 h à 13 h : 3 h. De 13 h à 13 h 12 : 12 min. Total : 3 h + 13 min + 12 min = 3 h 25 min.
2 h 45 min + 1 h 30 min = 3 h 75 min = 4 h 15 min (car 75 min = 1 h 15 min).
Un film commence à 20 h 35 et dure 1 h 50 min. Il se termine à 20 h 35 + 1 h 50 = 21 h 85 = 22 h 25.
4. Périmètre d'un polygone
Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour. Il s'exprime dans une unité de longueur (m, cm...).
Le périmètre d'un polygone est la somme des longueurs de ses côtés.
- Carré de côté c : P = 4 × c.
- Rectangle de longueur L et de largeur l : P = 2 × (L + l) = 2 × L + 2 × l.
- Triangle équilatéral de côté c : P = 3 × c.
- Losange de côté c : P = 4 × c.
Périmètre d'un rectangle de 8,5 cm sur 4 cm : P = 2 × (8,5 + 4) = 2 × 12,5 = 25 cm.
Périmètre d'un carré de côté 6,2 m : P = 4 × 6,2 = 24,8 m.
Périmètre d'un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm : P = 3 + 4 + 5 = 12 cm.
Un carré a un périmètre de 30 cm. Quelle est la longueur de son côté ? c = 30 ÷ 4 = 7,5 cm.
Un rectangle a un périmètre de 26 cm et une longueur de 9 cm. Quelle est sa largeur ? L + l = 26 ÷ 2 = 13, donc l = 13 − 9 = 4 cm.
5. Longueur d'un cercle
La longueur d'un cercle (son périmètre, aussi appelé circonférence) de rayon r et de diamètre d est :
P = 2 × π × r = π × d
Le nombre π (« pi ») est un nombre qui n'est pas décimal ; sa valeur approchée est 3,14159... On utilise le plus souvent la valeur approchée π ≈ 3,14 ou la touche π de la calculatrice.
Longueur d'un cercle de rayon 5 cm : P = 2 × π × 5 = 10 × π ≈ 10 × 3,14 = 31,4 cm.
La valeur exacte est 10π cm ; une valeur approchée au dixième est 31,4 cm.
Une roue de vélo a un diamètre de 70 cm. Quelle distance parcourt le vélo en 100 tours de roue ?
Un tour : P = π × 70 ≈ 219,8 cm ≈ 2,2 m. 100 tours : environ 220 m (valeur exacte 70π m ≈ 219,9 m).
Une piste est formée d'un rectangle de 100 m sur 60 m dont les deux largeurs sont remplacées par deux demi-cercles de diamètre 60 m. Son périmètre est : 2 × 100 + (longueur d'un cercle entier de diamètre 60) = 200 + π × 60 ≈ 200 + 188,4 = 388,4 m.