Fractions — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 11 points à retenir et 4 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Fraction et partage
Définition
Lorsqu'on partage une unité en b parts égales (b entier non nul) et que l'on prend a de ces parts, on obtient la fraction ab, qui se lit « a sur b » ou « a b-ièmes ».
- Le nombre du haut, a, est le numérateur : il indique le nombre de parts prises.
- Le nombre du bas, b, est le dénominateur : il indique en combien de parts égales l'unité est partagée.
Lectures particulières : 12 « un demi », 13 « un tiers », 14 « un quart », 35 « trois cinquièmes », 710 « sept dixièmes ».
Définition
La fraction ab est aussi le quotient de a par b : ab = a ÷ b. C'est le nombre qui, multiplié par b, donne a : b × (ab) = a
Exemple : 4 × 34 = 3.
Propriété
Une fraction peut être plus grande que 1 : 74 signifie « 7 quarts », c'est-à-dire une unité entière (4 quarts) et encore 3 quarts : 74 = 1 + 34.
Un nombre entier peut s'écrire sous forme de fraction : 3 = 31 = 62 = 124.
3. Fractions égales
Propriété
On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
ab = a × kb × k et ab = a ÷ kb ÷ k.
Exemples : 23 = 46 = 1015 = 200300 ; 1218 = 23 (en divisant par 6).
Définition
Simplifier une fraction, c'est écrire une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits, en divisant les deux par un diviseur commun.
4. Fractions décimales et écriture décimale
Définition
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1 000, ... (une puissance de 10).
Exemples : 710 ; 35100 ; 1 2491 000.
Propriété
Toute fraction décimale peut s'écrire sous forme d'un nombre décimal, et tout nombre décimal peut s'écrire sous forme d'une fraction décimale.
710 = 0,7 ; 35100 = 0,35 ; 1 2491 000 = 1,249 ; 2,08 = 208100.
Propriété
Certaines fractions non décimales sont égales à des nombres décimaux : 12 = 510 = 0,5 ; 14 = 25100 = 0,25 ; 34 = 0,75 ; 15 = 0,2 ; 38 = 0,375.
D'autres fractions n'ont pas d'écriture décimale exacte : 13 = 0,333... ; 27 = 0,2857... On ne peut en donner qu'une valeur approchée.
5. Comparer des fractions
Propriété
- Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est inférieure à 1 : 35 < 1.
- Si le numérateur est égal au dénominateur, la fraction est égale à 1 : 55 = 1.
- Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est supérieure à 1 : 85 > 1.
Propriété
Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur : 59 < 79.
Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur (les parts sont plus grosses) : 23 > 25.
7. Additionner des fractions de même dénominateur
Propriété
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur :
ac + bc = a + bc.
Exemples : 27 + 37 = 57 ; 910 − 410 = 510 = 12.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1
Pour calculer ab d'une quantité, on peut :
- diviser la quantité par b, puis multiplier par a ;
- ou multiplier la quantité par a, puis diviser par b.
Prendre ab de q, c'est calculer (ab) × q = (a × q) ÷ b.
Méthode 2
On effectue la division du numérateur par le dénominateur : 38 = 3 ÷ 8 = 0,375.
Ou on cherche une fraction décimale égale : 34 = 75100 = 0,75.
Méthode 3
On les écrit avec le même dénominateur (ou on compare leurs écritures décimales).
Comparer 34 et 56 : 34 = 912 et 56 = 1012. Comme 9 < 10, on a 34 < 56.
Méthode 4
- On partage chaque unité en autant de parts égales que l'indique le dénominateur.
- On compte, à partir de 0, autant de parts que l'indique le numérateur.
Pour placer 74 : on partage chaque unité en 4 ; 74 est à 7 parts de l'origine, c'est-à-dire entre 1 et 2 (74 = 1 + 34 = 1,75).
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés