Fractions — cours de 6e
Fraction et partage, Fraction d'une quantité, Fractions égales, Fractions décimales et écriture décimale Lecture ≈ 6 min.
1. Fraction et partage
Lorsqu'on partage une unité en b parts égales (b entier non nul) et que l'on prend a de ces parts, on obtient la fraction ab, qui se lit « a sur b » ou « a b-ièmes ».
- Le nombre du haut, a, est le numérateur : il indique le nombre de parts prises.
- Le nombre du bas, b, est le dénominateur : il indique en combien de parts égales l'unité est partagée.
Lectures particulières : 12 « un demi », 13 « un tiers », 14 « un quart », 35 « trois cinquièmes », 710 « sept dixièmes ».
Une tarte est coupée en 8 parts égales. Léa en mange 3 parts : elle a mangé 38 de la tarte. Il en reste 58.
38 + 58 = 88 = 1 (la tarte entière).
La fraction ab est aussi le quotient de a par b : ab = a ÷ b. C'est le nombre qui, multiplié par b, donne a : b × (ab) = a
Exemple : 4 × 34 = 3.
Une fraction peut être plus grande que 1 : 74 signifie « 7 quarts », c'est-à-dire une unité entière (4 quarts) et encore 3 quarts : 74 = 1 + 34.
Un nombre entier peut s'écrire sous forme de fraction : 3 = 31 = 62 = 124.
2. Fraction d'une quantité
Pour calculer ab d'une quantité, on peut :
- diviser la quantité par b, puis multiplier par a ;
- ou multiplier la quantité par a, puis diviser par b.
Prendre ab de q, c'est calculer (ab) × q = (a × q) ÷ b.
Calculer les 35 de 40 €.
Méthode 1 : 40 ÷ 5 = 8, puis 8 × 3 = 24. Méthode 2 : 40 × 3 = 120, puis 120 ÷ 5 = 24.
Les 35 de 40 € font 24 €.
Dans une classe de 28 élèves, les 34 sont demi-pensionnaires. Combien d'élèves sont demi-pensionnaires ?
28 ÷ 4 = 7 et 7 × 3 = 21. Il y a 21 demi-pensionnaires (et 7 externes).
3. Fractions égales
On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
ab = a × kb × k et ab = a ÷ kb ÷ k.
Exemples : 23 = 46 = 1015 = 200300 ; 1218 = 23 (en divisant par 6).
Simplifier une fraction, c'est écrire une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits, en divisant les deux par un diviseur commun.
Simplifier 2030 : 20 et 30 sont tous les deux divisibles par 10 : 2030 = 23.
Simplifier 3648 : on divise par 12 : 3648 = 34. (On peut aussi diviser par 2 plusieurs fois puis par 3 : 3648 = 1824 = 912 = 34.)
Compléter : 34 = .../20. On a multiplié 4 par 5 pour obtenir 20, donc on multiplie aussi 3 par 5 : 34 = 1520.
4. Fractions décimales et écriture décimale
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1 000, ... (une puissance de 10).
Exemples : 710 ; 35100 ; 1 2491 000.
Toute fraction décimale peut s'écrire sous forme d'un nombre décimal, et tout nombre décimal peut s'écrire sous forme d'une fraction décimale.
710 = 0,7 ; 35100 = 0,35 ; 1 2491 000 = 1,249 ; 2,08 = 208100.
Certaines fractions non décimales sont égales à des nombres décimaux : 12 = 510 = 0,5 ; 14 = 25100 = 0,25 ; 34 = 0,75 ; 15 = 0,2 ; 38 = 0,375.
D'autres fractions n'ont pas d'écriture décimale exacte : 13 = 0,333... ; 27 = 0,2857... On ne peut en donner qu'une valeur approchée.
On effectue la division du numérateur par le dénominateur : 38 = 3 ÷ 8 = 0,375.
Ou on cherche une fraction décimale égale : 34 = 75100 = 0,75.
Écrire 2,35 sous forme de fraction : 2,35 = 235100 = 2 + 35100 = 2 + 310 + 5100.
Écrire 94 sous forme décimale : 9 ÷ 4 = 2,25. Donc 94 = 2,25 = 2 + 14.
5. Comparer des fractions
- Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est inférieure à 1 : 35 < 1.
- Si le numérateur est égal au dénominateur, la fraction est égale à 1 : 55 = 1.
- Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est supérieure à 1 : 85 > 1.
Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur : 59 < 79.
Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur (les parts sont plus grosses) : 23 > 25.
On les écrit avec le même dénominateur (ou on compare leurs écritures décimales).
Comparer 34 et 56 : 34 = 912 et 56 = 1012. Comme 9 < 10, on a 34 < 56.
Ranger dans l'ordre croissant : 710 ; 12 ; 45 ; 1.
On écrit tout en dixièmes : 12 = 510 ; 45 = 810 ; 1 = 1010.
Donc 12 < 710 < 45 < 1.
6. Placer une fraction sur une droite graduée
- On partage chaque unité en autant de parts égales que l'indique le dénominateur.
- On compte, à partir de 0, autant de parts que l'indique le numérateur.
Pour placer 74 : on partage chaque unité en 4 ; 74 est à 7 parts de l'origine, c'est-à-dire entre 1 et 2 (74 = 1 + 34 = 1,75).
Sur une droite graduée où chaque unité est partagée en 3, le point A situé à 5 graduations de l'origine a pour abscisse 53. On a 53 = 1 + 23, donc A est entre 1 et 2.
Le point B d'abscisse 2 est aussi d'abscisse 63. Le point C d'abscisse 13 est le premier point après l'origine.
7. Additionner des fractions de même dénominateur
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur :
ac + bc = a + bc.
Exemples : 27 + 37 = 57 ; 910 − 410 = 510 = 12.
Marc a lu 38 d'un livre le lundi et 28 le mardi. Quelle fraction du livre a-t-il lue ? Que lui reste-t-il à lire ?
38 + 28 = 58. Il a lu 58 du livre. Il lui reste 88 − 58 = 38 du livre à lire.