Proportionnalité — cours de 5e
Situation de proportionnalité, Méthodes pour compléter un tableau de proportionnalité, Pourcentages, Échelles Lecture ≈ 5 min.
1. Situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe des valeurs de l'une aux valeurs de l'autre en multipliant toujours par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
Un tableau de proportionnalité est un tableau à deux lignes dans lequel les nombres de la deuxième ligne s'obtiennent en multipliant ceux de la première par le coefficient de proportionnalité.
Un kilogramme de pommes coûte 2,50 €.
| Masse (kg) | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 2,50 | 5 | 7,50 | 12,50 |
Le prix est proportionnel à la masse ; le coefficient de proportionnalité est 2,50 (prix = masse × 2,50).
L'âge d'une personne et sa taille ne sont pas proportionnels : à 10 ans, on ne mesure pas le double de ce qu'on mesurait à 5 ans.
| Nombre de places | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 8 | 15 | 21 |
8 × 2 = 16 ≠ 15 : ce tableau n'est pas un tableau de proportionnalité.
2. Méthodes pour compléter un tableau de proportionnalité
On calcule le coefficient k = (valeur de la 2e ligne) ÷ (valeur de la 1re ligne correspondante). On multiplie ensuite chaque valeur de la première ligne par k (ou on divise chaque valeur de la deuxième ligne par k).
- Additivité : si on additionne deux valeurs de la première ligne, on additionne les valeurs correspondantes de la deuxième ligne.
- Homogénéité : si on multiplie (ou divise) une valeur de la première ligne par un nombre, on multiplie (ou divise) la valeur correspondante par ce même nombre.
On calcule d'abord la valeur correspondant à 1, puis on multiplie par la quantité voulue.
Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux :
| a | b |
| c | d |
a × d = b × c. Pour trouver une quatrième valeur inconnue, on utilise : d = (b × c) ÷ a.
Compléter le tableau de proportionnalité :
| Distance (km) | 4 | 6 | 10 | ? |
|---|---|---|---|---|
| Durée (min) | 12 | ? | ? | 45 |
Coefficient : 12 ÷ 4 = 3. Pour 6 km : 6 × 3 = 18 min. Pour 10 km : 10 × 3 = 30 min (ou 12 + 18 = 30 par additivité, car 10 = 4 + 6). Pour 45 min : 45 ÷ 3 = 15 km.
7 stylos coûtent 9,80 €. Combien coûtent 12 stylos ?
| Nombre de stylos | 7 | 12 |
|---|---|---|
| Prix (€) | 9,80 | x |
x = (12 × 9,80) ÷ 7 = 117,6 ÷ 7 = 16,80 €.
3. Pourcentages
Un pourcentage est une proportion exprimée avec un dénominateur 100 : t % = t100.
Appliquer t % à un nombre, c'est le multiplier par t100.
- Calculer t % d'une quantité : quantité × t100. Ex. : 30 % de 250 = 250 × 30100 = 75.
- Calculer un pourcentage : (partie ÷ total) × 100. Ex. : 18 élèves sur 24 : 1824 = 0,75 = 75 %.
- Pourcentages usuels : 50 % = moitié ; 25 % = quart ; 10 % = dixième ; 75 % = trois quarts ; 100 % = tout.
Un pantalon à 45 € est soldé à −20 %. Quel est le nouveau prix ?
Réduction : 45 × 20100 = 9 €. Nouveau prix : 45 − 9 = 36 €.
Dans un collège de 600 élèves, 138 sont en 5e. Quel pourcentage cela représente-t-il ?
138600 = 0,23 = 23 %.
4. Échelles
L'échelle d'un plan ou d'une carte est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des distances réelles aux distances sur le plan, exprimées dans la même unité :
échelle = distance sur le plan ÷ distance réelle
Une échelle 125 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 25 000 cm (soit 250 m) dans la réalité.
Sur une carte à l'échelle 150 000, deux villages sont distants de 6 cm. Quelle est la distance réelle ?
6 × 50 000 = 300 000 cm = 3 000 m = 3 km.
Une pièce de 8 m de long est représentée par un segment de 4 cm sur un plan. Quelle est l'échelle du plan ?
8 m = 800 cm. Échelle = 4800 = 1200.
5. Vitesse moyenne
La vitesse moyenne v d'un mobile qui parcourt une distance d pendant une durée t est : v = d ÷ t. On en déduit d = v × t et t = d ÷ v.
Si d est en km et t en heures, v est en km/h. Si d est en m et t en secondes, v est en m/s.
Une voiture parcourt 180 km en 2 h 30 min. Quelle est sa vitesse moyenne ?
2 h 30 min = 2,5 h. v = 180 ÷ 2,5 = 72 km/h.
Un cycliste roule à 24 km/h. Quelle distance parcourt-il en 45 min ?
45 min = 4560 h = 0,75 h. d = 24 × 0,75 = 18 km.
6. Graphique de proportionnalité
Une situation est une situation de proportionnalité si et seulement si les points de son graphique sont alignés avec l'origine du repère. Le graphique est alors une droite passant par l'origine.
On représente le prix des pommes (2,50 €/kg) : les points (1 ; 2,5), (2 ; 5), (3 ; 7,5), (5 ; 12,5) sont alignés avec l'origine O(0 ; 0). Le graphique est une droite passant par O : c'est bien une situation de proportionnalité.
Un abonnement à 10 € plus 2 € par séance donne les points (0 ; 10), (1 ; 12), (2 ; 14) : ils sont alignés mais la droite ne passe pas par l'origine, ce n'est pas une situation de proportionnalité.