Fractions — cours de 5e
Quotient et fraction, Fractions égales et simplification, Comparaison de fractions, Addition et soustraction de fractions Lecture ≈ 4 min.
1. Quotient et fraction
Soit a un nombre et b un nombre non nul. Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b, donne a. On le note ab (ou a ÷ b).
Lorsque a et b sont des nombres entiers, ab est une fraction : a est le numérateur, b le dénominateur.
Pour tout nombre a et tout nombre b non nul : b × (ab) = a
3 × (73) = 7. Le quotient 73 n'a pas d'écriture décimale exacte (73 = 2,333...), mais c'est un nombre bien défini.
5 × (45) = 4. Ici 45 = 0,8 a une écriture décimale.
2. Fractions égales et simplification
On ne change pas un quotient en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul :
ab = a × kb × k et ab = a ÷ kb ÷ k
Simplifier une fraction, c'est écrire une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits. Une fraction est irréductible lorsqu'on ne peut plus la simplifier.
On cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur (2, 3, 5, 9, 10...) et on divise les deux par ce diviseur. On recommence jusqu'à ce que ce ne soit plus possible.
Rappel des critères de divisibilité : un nombre est divisible par 2 s'il est pair ; par 3 si la somme de ses chiffres l'est ; par 5 s'il se termine par 0 ou 5 ; par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 ; par 10 s'il se termine par 0.
Simplifier 3648.
3648 = 36 ÷ 448 ÷ 4 = 912 = 9 ÷ 312 ÷ 3 = 34.
On aurait pu directement diviser par 12 : 3648 = 34. La fraction 34 est irréductible.
Écrire 2,40,6 sous forme de fraction : on multiplie numérateur et dénominateur par 10 : 246 = 4.
3. Comparaison de fractions
- Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
- Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.
- Une fraction est inférieure à 1 si son numérateur est inférieur à son dénominateur ; égale à 1 s'ils sont égaux ; supérieure à 1 si son numérateur est supérieur à son dénominateur.
On les met au même dénominateur (en général, on choisit le plus petit multiple commun des dénominateurs), puis on compare les numérateurs.
Comparer 56 et 79.
Un multiple commun de 6 et 9 est 18. 56 = 1518 et 79 = 1418.
Comme 15 > 14, on a 56 > 79.
Comparer 37 et 35 : même numérateur, donc 37 < 35 (7 > 5, la part est plus petite).
Comparer 98 et 710 : 98 > 1 et 710 < 1, donc 710 < 98.
4. Addition et soustraction de fractions
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur :
ac + bc = a + bc ac − bc = a − bc
Lorsque les dénominateurs sont différents, on commence par écrire les fractions avec le même dénominateur. Si l'un des dénominateurs est un multiple de l'autre, on le prend comme dénominateur commun et on ne transforme que la fraction dont le dénominateur est le plus petit. Sinon, on cherche un multiple commun aux deux dénominateurs (par exemple leur produit) et on transforme les deux fractions.
Calculer 23 + 512.
12 est un multiple de 3 (12 = 3 × 4). 23 = 2 × 43 × 4 = 812.
23 + 512 = 812 + 512 = 1312.
Calculer 3 − 74.
On écrit 3 = 124. 3 − 74 = 124 − 74 = 54.
Calculer 56 − 12 + 13.
Dénominateur commun : 6. 12 = 36 et 13 = 26.
56 − 36 + 26 = 46 = 23 (après simplification par 2).
5. Fraction d'un nombre
Prendre la fraction ab d'un nombre n, c'est multiplier n par ab. On peut calculer ce produit de trois façons :
- (ab) × n = a × nb ;
- (ab) × n = (n ÷ b) × a ;
- (ab) × n = (a ÷ b) × n (si ab a une écriture décimale).
Calculer les 34 de 60.
Méthode 1 : 3 × 604 = 1804 = 45.
Méthode 2 : 60 ÷ 4 = 15, puis 15 × 3 = 45.
Méthode 3 : 34 = 0,75 et 0,75 × 60 = 45.
Dans une classe de 28 élèves, les 57 sont demi-pensionnaires. Combien d'élèves sont demi-pensionnaires ?
28 ÷ 7 = 4 puis 4 × 5 = 20. Il y a 20 demi-pensionnaires.