Bilan, automatismes et formulaire de Première — cours de Première
Automatismes à entretenir, Formulaire essentiel, Frontière avec la Terminale Lecture ≈ 4 min.
1. Automatismes à entretenir
- Développer, factoriser, utiliser les identités remarquables et manipuler fractions, puissances et racines.
- Entre une valeur initiale Vi et une valeur finale Vf, le taux d'évolution décimal est t = Vf − ViVi, avec Vi ≠ 0.
- On a Vf = Vi(1 + t) et, si t ≠ −1, Vi = Vf1 + t. Une évolution de t % correspond à remplacer le taux décimal par t100.
- Deux évolutions se composent en multipliant leurs coefficients. Le taux réciproque n'est généralement pas l'opposé.
- Passer d'une équation, d'un graphique, d'un tableau de valeurs ou de variations à une autre représentation.
- Calculer moyenne pondérée, fréquence, probabilité d'un contraire et lire un tableau croisé, un diagramme, un histogramme ou une boîte à moustaches.
Une quantité augmente de 20 %, puis baisse de 20 %. Coefficient global : 1,2 × 0,8 = 0,96 ; elle baisse donc de 4 %. Pour annuler une hausse de 25 %, le coefficient réciproque vaut 11,25 = 0,8 : il faut une baisse de 20 %.
Un article vaut 84 € après une hausse de 5 %. Sa valeur initiale était 841,05 = 80 €. Inversement, passer de 80 € à 84 € donne t = 84 − 8080 = 0,05 = 5 %.
Une boîte à moustaches a pour minimum 2, premier quartile 5, médiane 8, troisième quartile 11 et maximum 17. On lit qu'au moins 50 % des valeurs sont entre 5 et 11 ; l'écart interquartile vaut 11 − 5 = 6 et l'étendue vaut 17 − 2 = 15. Sur un histogramme dont les classes ont des largeurs différentes, on compare les aires des rectangles, pas seulement leurs hauteurs. Sur une courbe de fréquences cumulées, la médiane se lit au niveau 50 % et les quartiles aux niveaux 25 % et 75 %.
2. Formulaire essentiel
| Thème | Résultat |
|---|---|
| Second degré | Δ = b2 − 4ac ; racines −b ± √Δ2a |
| Forme canonique | a(x − α)2 + β, α = −b2a, β = f(α) |
| Racines | x1 + x2 = −ba ; x1x2 = ca |
| Suite arithmétique | un = up + (n − p)r |
| Somme arithmétique | nombre de termes × premier + dernier2 |
| Suite géométrique | un = upqn−p |
| Somme géométrique | pour q ≠ 1 : premier × 1 − qnombre de termes1 − q ; si q = 1, la somme vaut premier × nombre de termes |
| Tangente en a | y = f'(a)(x − a) + f(a) |
| Dérivées | pour n ∈ ℤ ∖ {0}, (xn)' = nxn−1 sur son domaine ; si n = 0, la dérivée de la constante 1 est 0 ; (√x)' = 12√x pour x > 0 ; (ex)' = ex |
| Produit / quotient | (uv)' = u'v + uv' ; (uv)' = u'v − uv'v2 |
| Exponentielle | ex+y = exey ; e−x = 1ex |
| Trigonométrie | cos2 x + sin2 x = 1 ; période 2π |
| Produit scalaire | u · v = xx' + yy' = ||u||||v||cos θ |
| Droite | ax + by + c = 0 ; normal (a ; b), directeur (−b ; a) |
| Cercle | (x − a)2 + (y − b)2 = r2 |
| Conditionnelle | PA(B) = P(A ∩ B)P(A) |
| Probabilités totales | si les Ai forment une partition de Ω avec P(Ai) > 0 : P(B) = ∑ P(Ai)PAi(B) |
| Indépendance | P(A ∩ B) = P(A)P(B) |
| Espérance | E(X) = ∑ xipi ; E(aX + b) = aE(X) + b |
| Variance | V(X) = E(X2) − E(X)2 ; σ = √V(X) |
| Moyenne d'échantillon | écart type σ√n ; zone indicative μ ± 2σ/√n |
3. Frontière avec la Terminale
Les limites formelles, le logarithme népérien, la continuité et le théorème des valeurs intermédiaires, la convexité, l'intégration, les équations différentielles générales, la combinatoire et la loi binomiale générale appartiennent principalement à la Terminale. Les mentions correspondantes dans ce cours servent uniquement à situer les idées.