Bilan et formulaire final — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 5 points à retenir et 2 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Dénombrement et probabilités
| Notion | Formule ou critère |
|---|---|
| Réunion | |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| |
| k-uplets parmi n | nk (ordre, répétitions possibles) |
| Arrangements | n!/(n − k)! (ordre, sans répétition) |
| Permutations | n! |
| Combinaisons | C(n,k) = n!/[k!(n − k)!] |
| Pascal | C(n,k) = C(n − 1,k − 1) + C(n − 1,k) |
| Parties d'un ensemble | Un ensemble à n éléments possède 2n parties. |
| Binôme de Newton (approfondissement) | (a + b)n = ∑ C(n,k)an−kbk |
| Loi binomiale | P(X = k) = C(n,k)pk(1 − p)n−k |
| Paramètres binomiaux | E(X) = np ; V(X) = np(1 − p) |
| Espérance | E(aX + b) = aE(X) + b |
| Variance affine | V(aX + b) = a2V(X) |
| Somme indépendante | V(X + Y) = V(X) + V(Y) |
| Tchebychev | P(|X − E(X)| ≥ δ) ≤ V(X)δ2 |
| Moyenne de n variables i.i.d. | E(Mn) = μ ; V(Mn) = σ2n |
2. Géométrie de l'espace
| Objet | Écriture ou critère |
|---|---|
| Vecteur AB | (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA) |
| Droite | M = A + tu, t réel |
| Plan paramétrique | M = A + su + tv |
| Plan cartésien | ax + by + cz + d = 0 ; normal (a ; b ; c) |
| Produit scalaire | u · v = xx' + yy' + zz' |
| Polarisation | 2u · v = ||u||2 + ||v||2 − ||u − v||2 |
| Orthogonalité | u ⊥ v ⇔ u · v = 0 |
| Distance point-droite | Si H est le projeté orthogonal de A sur d, d(A,d) = AH. |
| Distance point-plan | |axA + byA + czA + d|/√a2 + b2 + c2 |
3. Suites et limites
| Notion | Résultat |
|---|---|
| Arithmétique | un = u0 + nr |
| Géométrique | un = u0qn |
| Somme géométrique | 1 + q + … + qn = 1 − qn+11 − q, pour q ≠ 1 |
| Convergence monotone | croissante + majorée, ou décroissante + minorée ⇒ convergence |
| Géométrique convergente | |q| < 1 ⇒ qn → 0 |
| Croissance comparée | np/an → 0 pour a > 1 |
| Gendarmes | un ≤ vn ≤ wn, mêmes limites extrêmes ⇒ même limite |
4. Analyse
| Notion | Formule |
|---|---|
| Tangente en a | y = f(a) + f'(a)(x − a) |
| Composée | (u ∘ v)' = (u' ∘ v) × v' |
| Exponentielle composée | (eu)' = u'eu |
| Logarithme composé | (ln u)' = u'/u, pour u > 0 |
| Convexité | f'' ≥ 0 ⇒ f convexe |
| Logarithme | ln(ab) = ln a + ln b ; ln(ab) = ln a − ln b |
| Trigonométrie | cos2x + sin2x = 1 ; (sin)' = cos ; (cos)' = −sin |
| Équation différentielle | y' = ay ⇒ y = Ceax |
| Équation affine | y' = ay + b ⇒ y = Ceax − ba si a ≠ 0 |
| Second membre général | Si yp résout y' = ay + f, alors y = yp + Ceax. |
| Intégrale | ∫abf = F(b) − F(a) si F' = f |
| Intégration par parties | ∫uv' = [uv] − ∫u'v |
| Valeur moyenne | μ = 1b − a ∫abf |
7. Approfondissements : frontière du programme
Ce document reste dans la spécialité
Les permutations avec répétitions, le binôme de Newton, les asymptotes obliques, le prolongement par continuité, l'équation d'une sphère, la méthode d'Euler et certaines méthodes numériques sont explicitement présentés comme applications ou approfondissements directs. Les nombres complexes, l'arithmétique modulaire approfondie, les matrices, les chaînes de Markov et les graphes appartiennent notamment à l'option mathématiques expertes ou à l'enseignement supérieur : ils ne sont pas requis ici.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Formes à traiter
- 00 : factoriser, simplifier, utiliser une limite de référence.
- ∞∞ : factoriser par le terme dominant ou utiliser les croissances comparées.
- ∞ − ∞ : mettre au même dénominateur ou multiplier par le conjugué.
- 0 × ∞ : transformer en quotient.
Avant tout calcul, préciser le point étudié, le côté éventuel et le domaine. Une forme indéterminée décrit seulement l'échec d'une règle directe ; elle n'est pas une réponse.
Méthode 2Rédaction et contrôle
- Introduire chaque variable, son domaine et, en probabilités, sa loi avec ses paramètres.
- Vérifier les hypothèses avant de citer un théorème : continuité, monotonie, indépendance, orthonormalité du repère.
- Garder les valeurs exactes pendant les calculs ; arrondir seulement à la précision demandée.
- Dans un tableau de variations, faire figurer limites, valeurs remarquables et zéros de la dérivée.
- Dans l'espace, contrôler une appartenance en remplaçant les coordonnées dans l'équation.
- Pour une récurrence, séparer initialisation, hérédité et conclusion.
- Terminer chaque question par une phrase contextualisée, avec unité si nécessaire.