Exercices corrigés — Algorithmique et Python (Terminale)

a) La fonction simule 10 000 fois une série de 8 épreuves de Bernoulli de paramètre 0,4 et compte la proportion de séries comportant exactement 3 succès. Le nombre 0,2804 est une fréquence observée : c'est une estimation de P(X = 3), pas sa valeur exacte.
b) P(X = 3) = C(8,3) × 0,4³ × 0,6⁵ = 56 × 0,064 × 0,077 76 ≈ 0,2787.
c) Non. La fréquence obtenue est elle-même une variable aléatoire : chaque exécution utilise de nouveaux nombres pseudo-aléatoires et donne une valeur un peu différente. Les deux résultats, 0,2804 et 0,2761, encadrent la valeur exacte 0,2787 et s'en écartent de moins de 0,003 : c'est la fluctuation d'échantillonnage normale.
d) La fréquence sur N = 10 000 répétitions indépendantes a pour écart type √[p1 − pN] avec p = 0,2787 : √0,2787 × 0,721310 000 ≈ √2,01 × 10⁻⁵ ≈ 0,0045. Les écarts observés (0,0017 et 0,0026) sont inférieurs à un écart type : rien d'anormal. Pour gagner une décimale de précision, il faudrait multiplier le nombre de répétitions par 100. La simulation donne une valeur approchée ; la formule donne la valeur exacte.

la fonction random() renvoie un réel choisi uniformément dans l'intervalle [0 ; 1[ : la probabilité que le résultat tombe dans un sous-intervalle est égale à la longueur de ce sous-intervalle, indépendamment de sa position.
La condition random() < p est vraie exactement lorsque le nombre tiré appartient à [0 ; p[, intervalle de longueur p. La probabilité d'un succès est donc p, et celle d'un échec, correspondant à l'intervalle [p ; 1[, vaut 1 − p.
Exemple : avec p = 0,3, environ 30 % des tirages sont inférieurs à 0,3. Utiliser <= à la place de < ne change rien en pratique, car la probabilité d'obtenir exactement la valeur p est nulle.
Cette construction est à la base de toutes les simulations du chapitre : une variable de Bernoulli s'obtient par 1 if random() < p else 0, et une loi binomiale par la somme de n telles variables indépendantes.